中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数与平行四边形的存在性 第一部分：基础知识储备 一、线段中点坐标公式 平面直角坐标系中,点A(x ,y ),点B(x ,y ),则线段AB的中点坐标为: 二、平行四边形顶点坐标公式 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xc, yc)、D(xD,yD)则有： 证明：∵AC的中点也是BD的中点. 结论：平行四边形两组相对的顶点的横纵坐标之和相等，简记为：A+C=B+D 三、平行四边形分类讨论的情况 (1)四边形ABCD 是平行四边形:,则AC、BD 一定是对角线; (2)以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形，则对角线不确定需要分类讨论. 四、利用坐标公式列方程解出点的坐标后需要检验，因为可能出现四个点在同一直线上此时不能构成平行四边形； 五、平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题. 类型一：三定一动 (引例):已知A(1,2)、B(5,3)、C(3,5),在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形. 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D点坐标为(m,n),又A(1,2)、B(5,3)、C(3,5),可得: (1)BC为对角线时:解得 (2)AC为对角线时:解得 (3)AB为对角线时:解得D (3,0). 思路2：利用平移大法，分类讨论： (1)BC为对角线时:A平移到B,C平移到D,得D (7,6);(2)AC为对角线时：B平移到A，C平移到D，得 (3)AB为对角线时:C平移到A,B平移到D,得D (3,0). 平移法运用的基本原理是：图像上所有的点平移的方向和距离相同，如A(1，2)先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到B(5，3)，则C(3，5)也相应的先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到D (7，6). 类型二、两定两动 (引例):已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上,点D在y轴上,且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求C、D坐标. 【分析】 设C点坐标为(m,0),D点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2). 1.当AB为对角线时：解得 故C(4,0)、D(0,3); 2.当AC为对角线时：解得 故C(2,0)、D(0,-1); 3.当AD为对角线时：解得 故C(-2,0)、D(0,1). “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“自由”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半自由点”. 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标，若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：自由点未知量=半自由点未知量×2，找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量，原因在于平行四边形两大性质：对边平行且相等和对角线互相平分.此两个性质统一成一个方程组：两个方程只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量，因此可设两个点的坐标，利用坐标公式列出方程组求解. 第二部分：典型例题分析 例1 如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)若抛物线上有且仅有三个点M 、M 、M 使得△M BC、△M BC、△M BC的面积均为定值S,求出定值S及M 、M 、M 这三个点的坐标. 【解答】(1)由OC=2,OB=3,,得到B(3,0),C(0,2), 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3), 把C(0,2)代入得:2=-3a,即 则抛物线解析式为 (2)抛物线 当四边形CBPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到 当四边形CDBP 是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到 当四边形BCPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到 (3)设直线BC解析式为y=kx+b, 把B(3,0),C(0,2)代入得: 解得： 设与直线BC平行的解析 ... ...
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