中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数与菱形的存在性 第一部分：基础知识储备 一、菱形的判定 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： (1)有一组邻边相等的平行四边形菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四边都相等的四边形是菱形. 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足： 或 根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量. 二、题型分类 菱形存在性问题包括：(1)2个定点+1半自由点+1个自由点；(2)1个定点+3个半自由点 三、解题方法 思路1：先平形四边形，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”(AC、BD为对角线)方程，再结合一组邻边相等或者对角线互相垂直，得到方程组； 思路2：先等腰三角形，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰三角形存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点. 第二部分：典型典例分析 例1 如图，在坐标系中，A点坐标(1，1)，B点坐标为(5，4)，点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形. 思路1：先平四，再菱形 设C点坐标为(m,0),D点坐标为(p,q). (1)当AB为对角线时,由题意得:(AB和CD互相平分及AC=BC) 解得 (2)当AC为对角线时,由题意得:(AC和BD互相平分及BA=BC) 解得： 或 (3)当AD为对角线时，由题意得： 解得： 或 思路2：先等腰，再菱形 先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点. (1)当AB=AC时, C点坐标为( 对应D点坐标为 C点坐标为(1-2 ，0)，对应D点坐标为( (2)当BA=BC时, C点坐标为(8,0),对应D点坐标为(4,-3);C点坐标为(2,0),对应D点坐标为((-2,-3). (3)当AC=BC时, C点坐标为 对应D点坐标为( 以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法. 第三部分：针对提高训练 练 1 综合与探究： 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2,OC=6,连接AC和BC. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 练 2 如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是 点B的坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式； (2)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形 若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由. 练 3 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上， ，以A为顶点的抛物线y= 经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上. (1)求抛物线解析式； (2)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由. 【练1】解:(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6),将A(-2,0),C(0,-6),代入 得解得：b=-1,c=-6, ∴抛物线得解析式为： (2)存在；点N坐标为 (2,0),(-2,- ). ∵A(-2,0),C(0,-6),∴AC= ①若AC为菱形的边长，如图， 则MN∥AC,且. ②若AC为菱形的对角线，如图， 则 设 则 解得： ∴ 综上所述，点N坐标为( 或 或(2,0)或 【练2】解:(1)∵点A与点B(4,0)关于直线是x= ∴点 ∴抛物线解析式为 -4),即 故答案为 2; (2)在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形. 理由如下：若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形； 若 BC 为边,则 CN ... ...
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