专题21.5 实际问题与一元二次方程（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】 3 【题型2 增长率问题】 4 【题型3 传播问题】 7 【题型4 数字问题】 9 【题型5 营销问题】 13 【题型6 工程问题】 16 【题型7 行程问题】 19 【题型8 循环问题】 23 【题型9 图表信息问题】 25 【题型10 图形面积问题】 31 【题型11 其他问题】 35 知识点1 实际问题中常见的数量关系及表示方法 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年龄的十位数为，则根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为，结合个位数的平方等于他去世时的年龄，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为x， ∴他去世时年龄的个位数为， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键． 设平均每 ... ...
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