专题22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 二次函数的图象】 3 【题型2 二次函数的性质】 7 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 10 【题型4 二次函数图象的平移】 16 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 19 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 24 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 30 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 35 知识点1 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点2 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和抛物线的对称性求解． 【详解】由题意得：， 设， 抛物线的对称轴为：直线， 在矩形中，， 、关于对称， ，， 解得， ． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有_____． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为 ... ...
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