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课件网) 第12章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 2. 线段垂直平分线 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 线段垂直平分线的定义是什么？ 如果一条直线垂直平分已知线段，那么该直线是已知线段的垂直平分线(简称“中垂线”). 如图，直线l⊥AB于点O且OA=OB, 则直线l是AB的垂直平分线. A B l O 【探究1】线段垂直平分线的性质定理 【猜想】 探究与应用 1.作线段AB并作它的垂直平分线MN； 2.在MN上任取一点P，将线段沿直线MN对折，连结PA、PB； 3.量一量PA、PB的长，你发现了什么？ 4.在MN上另取一点Q,连结QA、QB，量一量QA、QB的长，你又发现了什么？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. M A B N P Q 【探究1】线段垂直平分线的性质定理 探究与应用 【证明】 M N P A C B 已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 分析：要得到PA=PB △APC≌△BPC 边: 角: 边: AC=BC ∠ACP=∠BCP PC=PC 【探究1】线段垂直平分线的性质定理 探究与应用 M N P A C B 证明： ∵MN ⊥AB, ∴∠ACP=∠BCP=90°. 在△ACP和△BCP中, ∵ ∴ △ACP≌△BCP(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC, ∠ACP=∠BCP, PC=PC, 【探究1】线段垂直平分线的性质定理 【知识要点】 探究与应用 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵MN⊥ AB，AC＝BC，点P在MN上， ∴AP＝BP. M N P A C B l 点在线段垂直平分线上 距离（线段）相等 【作用】利用该性质定理可以解决线段相等的问题. 【探究1】线段垂直平分线的性质定理 【应用】 探究与应用 解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD， ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋(BD＋CD)＝4＋5＝9. 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交 AB，AC于点E，D. (1)若△BCD的周长为8，求BC的长； (2)若BC＝4，求△BCD的周长． 转化思想 【探究2】线段垂直平分线的判定定理 探究与应用 【探索】 写出该性质定理与它的逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 线段垂直平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？ 这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 【探究2】线段垂直平分线的判定定理 【证明】 探究与应用 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上， 思路1 可以先过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 思路2 可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB． 【探究2】线段垂直平分线的判定定理 探究与应用 (法一)证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， ∵QA=QB，QC⊥AB， ∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？ 【探究2】线段垂直平分线的判定定理 探究与应用 (法二)证明：取线段AB的中点C,则AC=BC. ∵QA＝QB,AC=BC, ∴QC⊥AB（等腰三角形的三线合一）. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. A C B N M Q 已知： 如图，QA＝QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上． 【探究2】线段垂直平分线的判定定理 【知识要点】 探究与应用 几何语言: ∵PA =PB， ∴点P在AB的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线 ... ...
