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课件网) 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 第1课时 垂直平分线的认识 课堂小结 随堂演练 获取新知 情景导入 例题精讲 知识回顾 通过上一节的学习我们知道，如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称.这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识回顾 情境导入 如图，点O是线段AB的中点，直线MN经过点O，且MN⊥AB， 那么直线MN是线段AB的垂直平分线. 由于直线MN上的点O是线段AB的中点， 因此OA=OB.在直线MN上任取两点P,Q （在线段AB的两侧各取一点）， 分别连接PA,PB,QA,QB.PA,PB的长 有什么关系？QA与QB呢？ 已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB， 点P是MN上任意一点.求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB，（已知） ∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直的定义） 在ΔAOP和ΔBOP中， ∵ ∴ΔAOP≌ΔBOP（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等） 由上面证明，我们得到垂直平分线的如下性质： 几何语言： ∵直线PO垂直平分AB， ∴PA=PB. 温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法，以后可当作等腰三角形的一种判定方法. A B P O 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 知识要点 思考： 你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果是真命题，请给出证明. 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. P A B 已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长. 在△POA和△POB中, ∴△POA≌△POB(SSS)， ∴∠POA=∠POB， ∵∠POA+∠POB=180°， ∴∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. P A B O 还可以怎么做辅助线？ 证明：作∠APB的角平分线PO,交PO于点O. 在△POA 和△POB 中， PA=PB，∠APO =∠BPO，PO =PO， ∴ △POA ≌△POB（SAS）． ∴ ∠POA=∠POB，OA=OB. P A B O ∵∠POA+∠POB=180°， ∴∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 几何语言： ∵PA =PB， ∴点P在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 知识要点 (2)若PA=PB,同时MA=MB,则直线PM是线段AB的中垂线吗？ P A B l 不一定是. 理由：经过一点的直线有无数条. 思考： (1)若PA=PB,过点P作直线l,则l是线段AB的中垂线吗？ 是. 理由：两点确定一条直线. M 证明某条直线是一条线段的垂直平分线的方法: (1)按定义:证明这条直线既垂直于这条线段,又平分该线段; (2)按判定定理:证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等. 归纳总结 几何语言： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A、M均在线段BC的中垂线上， ∴AM垂直平分BC. A B C D M 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝14. ∵△BCE的周长为24， ∴BC＝△BCE的周长－(BE＋CE) ＝24－14＝10. 即BC的长为10. 例1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点D，E，AC＝14，△BCE的周长为 24，求BC的长. 例题讲解 D 1.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( ) A．AM>CM B．AM＝CM C．AM
