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课件网) 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 第2课时 角的平分线的性质与判定 课堂小结 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题精讲 知识回顾 作角平分线的方法: (1)折纸法;(2)度量法;(3)尺规作图法. 1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的_____. 2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的_____. 平分线 垂直平分线 1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_____. PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 获取新知 已知：如图所示，OE平分∠AOB，P是OE上的任一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D. 求证：PC=PD. 验证猜想 角的平分线上的点到角两边的距离相等 E 【证明】∵OP平分∠AOB，（已知） ∴∠AOP=∠BOP.（角平分线定义） 又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知) ∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义） 在△PCO和△PDO中, ∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD. E 角平分线性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PC = PD （角平分线上的点到角两边的距离相等）. 推理的条件有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PC⊥OA,PD⊥OB， 知识要点 P A O B C D E 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线的性质定理中的条件和结论，你能得到什么命题？ 角平分线上的点到角两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 角平分线判定定理： 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 定理应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识要点 几何语言： 图形 已知 条件 结论 角平分线的性质 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P C OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E P C 角平分线的判定 归纳总结 例题精讲 例1 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF. ∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴ DC=DE. 在△DCF和△DEB中, ∵ 证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC. ∴ △DCF≌△DEB.(SAS) ∴ BD=DF. 应用角平分线的性质解题时的“两点注意”: (1)应用角平分线性质定理的三个条件:一平分,两垂直,缺一不可; (2)利用角平分线的性质定理可以直接得到线段相等,无须证明两个直角三角形全等,这是证线段相等的方法之一. 例2 如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC. 求证:AE平分∠DAB. [解析] 要证AE平分∠DAB,只需证明点E在∠DAB的平分线上即可.过点E作EF⊥AD于点F,由条件可得EF=EB,则点E在∠DAB的平分线上,即AE平分∠DAB. F 证明:过点E作EF⊥AD于点F. ∵AB∥CD,∠B=90°, ∴ EC⊥DC. ∵ DE平分∠ADC,EC⊥DC,EF⊥AD, ∴ EC=EF.(角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵ E是BC的中点, ∴ BE=EC. ∴ BE=EF. 又∵ EF⊥AD,BE⊥AB, ∴AE平分∠DAB. F 随堂演练 1．如图，已知BG是 ... ...
