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课件网) 相似三角形存在性问题 一、知识回顾 二、引例导学 三、案例分析 四、反思提升 目录 一、知识回顾 1.相似三角形的定义及判定 1.1相似三角形的定义： 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 1.2相似三角形的判定： 判定1 两角分别相等的两个三角形相似. 判定2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定3 三边成比例的两个三角形相似. 二、引例导学 引例1：如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD=4。在AC上是否存在一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求线段AP的长度；否则，请说明理由。 思考：通过分析可知，∠A为公共角，也即判定2中所说的“夹角”。在此前提下证明两三角形相似，还需满足对应边成比例。因此，对应边的分析，成为解决该问题的关键。那么AD都可能与谁成为对应边呢？ 思路分析 假设AD与AB对应，则AP与AC对应，如下图： 假设AD与AC对应，则AP与AB对应，如下图： 当AD与AB对应时，即△ADP∽△ABC 解： 当AD与AC对应时，即△APD∽△ABC 引例2：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点。若△ADP与以P、B、C为顶点的三角形相似，求线段AP的长度。 思考：通过对已知条件的分析可知，∠A=∠B=90°。其构图虽与引例1不同，但解决问题的关键相同。请大家思考： （1）若△ADP与以P、B、C为顶点的三角形相似，AD都可能与谁成为对应边？ （2）找准对应边后，结合已知条件，我们通常用什么方法求线段AP的长度？ 3 4 8 （1）若AD与PB对应，则△ADP∽△BPC 解：设AP=x，则PB=8-x。 （2）若AD与BC对应，则△ADP∽△BCP 3 4 x 8-x 小结 上述引例中谈及的相似三角形的存在性问题，虽构图不同，但问题分析的切入点相同：从相等的角入手；问题解决的关键点相同：找准对应边；考察的知识点相同：三角形相似的判定定理。 因此，对于此类问题的探讨，可首先寻找对应角，然后找准对应边，最后结合已知条件建立等式，求出此时的数量关系。 三、案例分析 案例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线C： 经过点(1,1)和(4,1)． （1）求抛物线C的对称轴． （2）当a=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1． ①求抛物线C1的解析式． ②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE垂直OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出的m值；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为抛物线图象过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5； （2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0）。又因为，a=-1，设交点式为：y=-1(x+1)(x-2)，整理可得二次函数C1表达式为 。 D E 三、案例分析 案例2：如图，已知抛物线经过点A(-2,0)，B(-3,3)及原点O，顶点为C. （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M。是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵抛物线经过点O(0，0)，A(-2,0) ∴设解析式为：y=a(x-0)(x+2) ∵经过B(-3,3) ∴3=a(-3-0)(-3+2) ∴a=1 即：y=x2+2x 解：∵B(-3,3)，C(-1,-1) ∴∠BOC=90° ①角的和差： ∠BOC=∠BOA+∠COA ②勾股定理逆定理 BC2=OB2+OC2 三、案例分析 案例2：如图，已知抛物线经过点A(-2,0)，B(-3,3)及原点O，顶点为C. （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上第一象 ... ...
