基本不等式的应用技巧 技巧一 巧用“1”的代换或乘“1”法求最值 【例1】 （1）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.9 （2）已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式＋－m≥0恒成立，则m的范围为 . 尝试解答 方法总结 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 【迁移应用】 1.已知a＞0，b＞0，＋＝2，则a＋b的最小值为（ ） A. B. C.3－2 D.3＋2 2.若a，b是正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为 . 技巧二 分离消元法求最值 【例2】 若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），则＋的最小值为 . 尝试解答 方法总结 含有多个变量的最值问题的解决方法 对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 【迁移应用】 1.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 . 2.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 技巧三 双换元法求最值 【例3】 若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为 . 尝试解答 方法总结 若题目是求含有两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元法，分别用两个分式的分母作为两个参数，转化为这两个参数的不等关系. 【迁移应用】 已知x，y＞0，则＋的最大值为 . 拓视野 基本不等式的应用技巧 【例1】 （1）B （2）{m｜m≤＋} 解析：（1）由x＋3y－5xy＝0，得＋＝5，所以3x＋4y＝（＋）（3x＋4y）＝（13＋＋）≥（13＋2）＝5，当且仅当x＝1，y＝时，取等号.故选B. （2）因为a＋2b＝1，所以＋＝（＋）（a＋b＋b）＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝（－1）b时，取等号，因为不等式＋－m≥0恒成立，所以m小于等于＋最小值，所以m≤＋. 迁移应用 1.B 因为a＞0，b＞0，且＋＝2，所以a＋b＝（＋）·（a＋b）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝，当且仅当b＝a即a＝，b＝时，a＋b有最小值.故选B. 2.2＋3 解析：因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋＋＋1≥2＋3＝2＋3，当且仅当时等号成立. 【例2】 8 解析：因为xy＋3x＝3，所以x＝，所以0＜＜，解得y＞3，所以＝y＋3，因此＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号. 迁移应用 1.5＋2 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2（b－2）＋4＝2（b－2）＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2（b－2）＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2. 2.解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 【例3】 ＋ 解析：设则所以＋＝1，因为a＋2b＝＋2y－2＝，又因为x＋3y＝（x＋3y）（＋）＝1＋＋＋3≥2＋4＝4＋2，所以a＋2b≥＝＝＋. 迁移应用 解析：设则因此＋＝＋＝－＋－＝－（＋），因为＋≥2＝，所以＋≤－＝. 1 / 1(
课件网) 拓 视 野 基本不等式的应用技巧 技巧一 巧用“1”的代换或乘“1”法求最值 【例1】 （1）已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋3 y －5 xy ＝0，则3 x ＋4 y 的 最小值是（ B ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 解析：由 x ＋3 y －5 xy ＝0，得 ＋ ＝5，所以3 x ＋4 y ＝ （ ＋ ） （3 x ＋4 y ）＝ （13＋ ＋ ）≥ （13＋2 ）＝5，当且仅 当 x ＝1， y ＝ 时，取等号.故选B. B （2）已知 a ... ...
