2025-2026学年内蒙古巴彦淖尔市衡越实验中学高三（上）第一次诊断 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为实数集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2.下列命题中正确的是( ) A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“且”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 3.已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数满足，且，则( ) A. B. C. D. 4.某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要参考数据：， A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 5.使不等式成立的一个充分不必要条件可以为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，若，则( ) A. B. C. D. 7.已知函数，若关于的方程有个不等的实根，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中，错误的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. “对恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为 10.已知函数，则( ) A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若恒成立，则的最大值为 11.已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，，都有当时，恒成立，则( ) A. B. 在上是单调函数 C. 有三个零点 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线，则该曲线在处的切线方程为_____． 13.已知：函数在上单调递减，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_____． 14.函数，存在实数，使有个根，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，求的最大值； 若，恒成立，求的取值范围． 16.本小题分 已知函数，． 当时，求函数的值域； 若函数的最小值为，求实数的值． 17.本小题分 已知函数为自然对数的底数． 求函数的最小值； 若对任意的恒成立，求实数的值． 18.本小题分 已知函数． 若，求不等式的解集； 若的定义域为，求实数的取值范围． 19.本小题分 设，． 当时，求的极值； 若有恒成立，求的取值范围； 当时，若，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为； 由题意结合二次函数的图像可得，解得， 所以的取值范围是． 16.解：，， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上递减，在递增， 则，， 所以函数的值域为； 由，令，， 化为，，对称轴为， 若，则在递增，，得，符合题意； 若，则在上递减，在递增，，得舍去，符合题意； 若，则在上递减，，得，与矛盾，舍去； 综上，或． 17.解：， ， 由得， 由得，，此时函数单调递增， 由得，，此时函数单调递减， 即在处取得极小值且为最小值， 最小值为． 若对任意的恒成立， 等价为， 由知，， 设， 则， 由得， 由得，，此时函数单调递增， 由得，，此时函数单调递减， 在处取得最大值，即， 因此的解为， ． 18.解：函数， 可得函数． 函数是增函数，定义域为：； 不等式，可得， 即：，解得， 所以不等式的解集为：； 的定义域为，即函数在时，恒成立， 可得，解得， 的范围：． 19.的定义域为， 由题：，， 令，解得或，令，解得， 在，上单调递增，上单调递减， ，； 由题：， 欲使恒成立，只需， 当时：，时，，时，， 在上单调递增，上单调递减， ，得， ... ...
