2025年高考专项训练2：集合的新定义问题（含解析）

2025年高考专项训练2：集合的新定义问题 一、单选题 1.定义集合运算：设，，则集合中的所有元素之和为． A. B. C. D. 2.设，是非空集合，定义且，已知，，则( ) A. B. 或 C. D. 或 3.若，则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( ) A. B. C. D. 4.设集合，，定义，，则中元素的个数为( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.对于集合，，定义且，，设，，则( ) A. B. C. D. 6.定义一种新的集合运算：且若集合，，则按运算，等于( ) A. B. C. D. 7.当一个非空数集满足“如果，，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： 是任何数域的元素： 若数域有非零元素，则； 集合是一个数域 有理数集是一个数域 其中真命题的个数为( ) A. B. C. D. 8.定义集合运算：若集合，，则( ) A. B. C. D. 9.对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：；，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为( ) A. B. C. D. 10.若集合满足：若则，则称集合是一个“对称集合”已知全集，那么下列集合中为“对称集合”的是( ) A. B. C. D. 二、多选题 11.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是( ) A. 集合为闭集合 B. 正整数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合为闭集合，则为闭集合 12.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是( ) A. 集合为闭集合 B. 正整数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合，为闭集合，则为闭集合 13.已知集合，，记表示有限集中的元素的个数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14.对任意集合，记，并称为集合的相异集，则( ) A. B. 若，则 C. 命题“若，则”为假命题 D. 若，则是成立的充分必要条件 15.对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合，若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内，则称这样的点集为“对称集”，记作，其中表示该点集内点的个数如集合不存在集合存在，该集合内个点的一种分布方式为：，则使存在的还可以为( ) A. B. C. D. 三、填空题 16.若，则，就称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共个，则实数的取值集合为 ． 17.给定集合、，定义：或，但，又已知，，用列举法写出 ． 18.定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”已知集合，则集合的所有子集中，是“和集合”的集合有_____个． 19.在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 20.设为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集．给出下列说法： 集合为封闭集； 若为封闭集，则一定有； 封闭集一定是无限集； 若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集． 其中说法正确的是 填序号． 四、解答题 21.若集合具有以下性质：且；(ⅱ)若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”． 试判断集合是否为“闭集”，并说明理由； 设集合是“闭集”，求证：若，，则； 若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由． 22.设，为两个集合，我们定义集合 为两个集合，的差集，记为 已知，求和 求证： 23.笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”． 若，，求和； 若，是非空数集，证明“”的充要条件是”； 若集合是有限集，将集合中的元素个数记为若， ，且满足，当取得最大值时，求的最小值． 24.设整 ... ...