1.2 集合间的基本关系 学习 目标 1. 理解子集、真子集、空集的概念． 2. 能用符号和Venn图表达集合间的关系，掌握列举有限集的所有子集的方法． 新知初探基础落实 问题：我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 一、 生成概念 观察：下面集合A与集合B的元素间有何关系？ (1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2) A＝{x|x为立德中学高一年级的学生}，B＝{x|x为立德中学的学生}． 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素． 请同学阅读课本P7—P8，完成下列填空． 二、 概念表述 1. 子集及其相关概念 概念 定义 符号表示 图形表示 子 集 对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个元素__都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B (或B A) 真 子 集 如果集合A B，但存在元素__x∈B且x A__，则称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 2. 集合的相等 如果集合A的__任意一个元素__都是集合B的__元素__(即A B)，同时集合B的__任意一个元素__都是集合A的__元素__(即B A)，那么集合A与集合B相等，记作__A＝B__． 3. 空集 我们把__不含任何元素__的集合叫做空集，记作__ __. 规定：空集是任何集合的__子集__，即 A. 补充：任何集合都是它自身的__子集__(填“子集”或“真子集”)． 三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 和{ }表示的意义相同．( × ) (2) {0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．( × ) (3) 如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.( √ ) (4) 任何集合都有子集和真子集．( × ) 典例精讲能力初成 探究1 子集、真子集 例1 (课本P8例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 【解答】集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}． 假设非空集合A中含有n个元素，则有：(1) A的子集的个数为2n.(2) A的真子集的个数为2n－1.(3) A的非空真子集的个数为2n－2. 变式1 (1) 写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并求所有子集中的元素之和及子集和真子集的个数． 【解答】集合A＝{1，2，3}的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．注意到A中每个元素均出现了4次，故所有子集中元素的和为(1＋2＋3)×4＝24.由以上分析可知，集合A的子集有8个，真子集有7个． (2) 已知{1，2} A {1，2，3，4}，求满足条件的集合A. 【解答】因为{1，2} A，所以A中要有元素1和2.将A中元素增加的情况进行分类讨论：①A中仅有元素1和2时，A＝{1，2}．②A中的元素在1，2的基础上增加1个，于是有A＝{1，2，3}或A＝{1，2，4}．③A中的元素在1，2的基础上增加2个，于是有A＝{1，2，3，4}．综上，满足条件的集合A共有4个：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． 变式2 若M P，M Q，P＝{0，1，2}，Q＝{0，2，4}，则满足上述条件的集合M的个数是__4__． 【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0，2}，M C，这样的集合M共有22＝4个． 探究2 集合间的基本关系 例2 (课本P8例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1) A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}； 【解答】因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集． (2) A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． 【解答】因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 判断集合间关系的方法 (1) 用定义判断． (2) 数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 变式 (1) 已知集合A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，则A与B之间的关系为( C ) A. A＝B B. A B C. B A D. AB 【解析】A＝{ ... ...
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