1.3　第2课时　补集及其应用（课件 讲义）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　补集及其应用 学习 目标 1. 了解全集的含义及其符号表示． 2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，会用Venn图、数轴进行集合的运算． 新知初探基础落实 相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，验证了“事物都是对立和统一的关系”．这就是我们本节课要探究的内容———全集和补集． 一、 生成概念 问题1：方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？ 在有理数范围内，解集为{2}；在实数范围内，解集为{2，，－}．在数学中，很多问题都是在某一范围内进行研究．如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的． 问题2：若U＝{2，，－}，A＝{2}，B＝{，－}，则集合U与集合A，B之间有什么关系？ 集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． 请同学阅读课本P12—P13，完成下列填空． 二、 概念表述 1. 全集 (1) 定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集． (2) 记法：全集通常记作__U__． 思考：全集一定是实数集R吗？ 答：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2. 补集 自然语言：对于一个集合A，由全集U中__不属于集合A__的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA. 符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}． 图形语言： 3. 补集的性质 U( UA)＝__A__， UU＝__ __， U ＝__U__，A∩( UA)＝__ __，A∪( UA)＝__U__． 拓展知识：德摩根律 (1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； (2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB). 典例精讲能力初成 探究1　补集的概念 视角1　求集合的补集 例1-1　(1) (课本P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB. 【解答】根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}． (2) (课本P13例6)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B). 【解答】根据三角形的分类可知A∩B＝ ，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}． 求集合补集的基本方法及处理技巧：(1) 基本方法：定义法．(2) 两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 变式　(1) 已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝__{2，3，5，7}__． 【解析】A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又 UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． (2) 已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝__{x|x＜－3或x＝5}__． 【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或x＝5}． (变式(2)答) 视角2　根据集合的补集求参数 例1-2　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，集合B＝{x|x>a＋2}，集合C＝{x|x<0或x≥4}，若 U(A∪B) C，求实数a的取值范围． 【解答】因为A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，所以A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}．因为 U(A∪B) C，①当 U(A∪B)＝ 时，A∪B＝R，因此a＋2≤－a－1，解得a≤ －；②当 U(A∪B)≠ 时，a＋2>－a－1，即a>－， U(A∪B)＝{x|－a－1