27.1.2 第2课时 垂径定理 素养目标 通过操作、观察、猜想、证明等活动,掌握垂径定理,并能应用垂径定理,解决有关圆的问题. 重点 垂径定理及推论. 【预习导学】 知识点一 垂径定理 请你阅读课本“试一试”至“证明”的内容,思考:课本的图中有哪些相等的线段 有哪些相等的弧 如何证明 1.观察折叠的圆或课本上的图形,找一找,其中有哪些相等的线段 有哪些相等的弧 2.请你阅读课本上的证明过程. 归纳总结 垂径定理: . 符号语言:∵CD经过点O且垂直AB于点P, ∴ . 知识点二 垂径定理的推论 请你阅读课本“类似于上面的证明”下面的部分,思考:由垂径定理可以得出哪些推论 1.如图,已知CD是直径,AP=BP,则CD与AB有怎样的位置关系 、相等吗 、呢 请说明理由. 2.如上题图,若已知CD经过点O与弦AB交于点P,并且=,AB与CD有怎样的关系 请说明理由. 归纳总结 垂径定理的推论1: . 符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,AP=BP,∴ . 垂径定理的推论2: . 符号语言:∵CD经过点O,交AB于点P,=,∴ . 对点自测 如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论错误的是 ( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.AE=BE D.= 【合作探究】 任务驱动一 1.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD= . 任务驱动二 2.如图,线段CD与☉O交于A,B两点,且OC=OD.试比较线段AC和BD的大小,并说明理由. 任务驱动三 3.如图,这是一个直径为650 mm 的圆柱形输油管的横截面, 若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度. 方法归纳交流 本题重点考查了哪些数学思想和数学知识,在解题中应注意哪些问题 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.解:AP=BP,=,=. 归纳总结 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧 AP=BP,=,= 知识点二 1.解:CD⊥AB,=,=. 理由:如图,连结OA、OB,在△AOP和△BOP中,AO=BO,OP=OP,AP=BP, ∴△AOP≌△BOP, ∴∠APO=∠BPO=90°, ∴CD⊥AB. 由△AOP≌△BOP可知∠AOP=∠BOP,则=, ∴=. 2.解:CD垂直平分AB. 证明:如上题答图,连结AO、BO, 由=得∠AOP=∠BOP, 在△AOP和△BOP中,AO=BO,∠AOP=∠BOP,OP=OP, ∴△AOP≌△BOP, ∴AP=BP,∠APO=∠BPO=90°, ∴CD⊥AB. 归纳总结 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB,=,= 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 AP=BP,CD⊥AB 对点自测 C 【合作探究】 任务驱动一 1.4 任务驱动二 2.解:线段AC=BD.理由: 如图,过O作OE⊥CD,点E为垂足. ∵OE⊥AB,∴EA=EB. 又∵OC=OD,OE⊥CD, ∴CE=DE, ∴AC=BD. 任务驱动三 3.解:过点O作OD⊥AB于点D,交于点F,连结OA,图略. ∵AB=600 mm,∴AD=300 mm. ∵底面直径为650 mm, ∴OA=×650=325 mm, ∴OD===125 mm, ∴DF=OF- OD=×650-125=200 mm. 答:油面的最大深度为200 mm. 方法归纳交流 解:答案不唯一,本题重点考查了分类讨论的思想,在做题中要能根据圆心与弦的位置分类;本题重点应用的知识是垂径定理,在应用垂径定理时,一般会涉及弦、半径、圆心到弦的距离,三条线段组成直角三角形,利用勾股定理解决. ... ...
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