第27章 圆 复习课 复习目标 1.知道圆的有关概念,认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理,知道圆周角和圆心角的关系定理,垂径定理. 2.知道点和圆、直线与圆的位置关系,熟记切线的性质定理与判定定理,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线,知道切线长定理. 3.进一步认识正多边形和圆的关系和正多边形的有关计算.熟记弧长和扇形面积公式;知道圆锥的侧面展开图并能熟练进行圆锥的侧面积和全面积的计算. 重点 系统地归纳总结本章知识内容. 【预习导学】 体系构建 请你完成本章的知识网络图. 核心梳理 1.圆心角、弦、弧之间的关系: (1)在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧 ,所对的弦 . (2)在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弦 . (3)在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弧 . 2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径 这条弦,并且 这条弦所对的两条弧; 平分弧的直径 这条弧所对的弦. 3. 或 所对的圆周角相等,都等于90°(直角). 4.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于该弧所对的圆心角的 ;相等的圆周角所对的弧 . 推论1:90°的圆周角所对的弦是 . 推论2:圆内接四边形的对角 . 5.点与圆的位置关系:点P在☉O上 OP r; 点P在☉O内 OP r;点P在☉O外 OP r. 6. 的三个点确定一个圆. 7.(1)经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. (2)与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. 8.直线与圆的位置关系:设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则 直线l与☉O相离 d r;直线l与☉O相切 d r;直线l与☉O相交 d r. 9.切线的判定定理:经过圆的半径的 且 这条半径的直线是圆的切线. 10.切线的性质定理:圆的切线 于经过切点的半径. 11.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长 .这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角. 【合作探究】 专题一 圆的基本性质 1.如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的点,若∠CAB=25°,则∠ADC= . 2.一根排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于 m. 方法归纳交流 垂径定理是计算圆中线段长的主要工具,在圆中,过圆心作弦的垂线,连结圆心和弦的两个端点,再由“半径、弦长的一半、弦心距”组成 三角形, 结合 定理进行相关计算. 3.如图,AB,CD是☉O的两条直径,过点A作AE∥CD交☉O于点E,连结BD,DE,求证:=. 变式演练 在上题图中,若=,求证:AE∥CD. 方法归纳交流 在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也 . 专题二 与圆有关的位置关系 4.已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是 ( ) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 5.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是 ( ) A.8≤AB≤10 B.8
