专题05 基本初等函数 考点01 幂函数的图象与性质 8 考点02 指数与对数运算 11 考点03 指数函数的图象 14 考点04 对数函数的图象 17 考点05 幂、指、对函数的性质 20 了解幂函数及其图象的变化规律；掌握指数幂的运算性质，会画指数函数的图象，理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点；理解函数零点存在定理，并能简单应用． 1．幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）常见的五种幂函数的图象． 2．对数 （1）对数：如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）． （3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga（MN）＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM（n∈R）． （4）换底公式：logab＝（a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1）． 3．指数函数的图象与性质 a>1 0
0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，01 01时，y>0； 当01时，y<0； 当00 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 5．函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系． （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f（a）·f（b）<0．则函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解． 1．幂函数的图象与性质 （1）对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． （2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 2．对数函数的性质必须弄清三个问题： （1）定义域． （2）底数与1的大小关系． （3）复合函数的构成． 一、选择题（共7小题） 1．（2025 新高考Ⅰ）若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x 【答案】B 【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可． 【解答】解：令x＝2，则3＝2+log22＝3+log3y＝5+log5z， 可得y＝1，z， 所以x＞y＞z．A可能正确； 当z＝1时，y＝9，x＝8，所以y＞x＞z，所以C可能正确； z＝125时，y＝243，此时x＝64，满足y＞z＞x，所以D可能正确． 故选：B． 2．（2025 北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ） A．2 B．4 C．20 D．40 【答案】B 【分析】由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，求出k，再代入计算函数求值即可． 【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog220， 所以klog21024＝20，解得k2， 所以2log2（4 ... ... 