专题07 三角函数的图象与性质 考点01 三角函数的图象与性质 11 考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 14 考点03 由图象求三角函数解析式 18 熟记三角函数的图象与性质；熟记y=Asin（wx+）的图象与性质；掌握三角函数的增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等． 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R {xx≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 （kπ，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 2．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 3．图象变换 求解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质问题的三种意识 （1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为．y＝Asin（ωx＋φ）的形式． （2）整体意识：类比y＝Asinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看“y＝Asinx”中的“x”，采用整体代入求解． ①令 ωx＋φ=kπ（），可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ=kπ（），可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号． （3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0． 一、选择题（共8小题） 1．（2024 全国）函数y＝sinxcosx的最大值是（ ） A．1 B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosxsin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出． 【解答】解：∵y＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x）． ∵﹣1≤sin（x）≤1， ∴当sin（x）＝1时，函数y取得最大值2． 故选：C． 2．（2024 全国）已知和都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据x和x都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（），由此求解即可． 【解答】解：因为x和x都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点， 所以周期为T≤2×（）， 所以，所以ω≥4， 即ω的最小值是4． 故选：A． 3．（2023 甲卷）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：把函数向 左平移个单位可得 函数f（x）＝cos（2x）＝﹣sin2x的图象， 而直线（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为， 且直线还经过点（，）、 （，）， 01， ﹣10，如图， 故y＝f（x）与的交点个数为3． 故选：C． 4．（2024 天津）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在区间上的最小值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由最小正周期为π，求出ω＝2，从而f（x）＝3sin（2x），由此能求出函数在的取最小值． 【解答】解：∵函数，（ω＞0） Tπ，ω＝2， 可得f（x）＝3sin（2x），x∈，2x∈[，]， 所以sin（2x）∈[，1]， 所以f（x）∈[，3]， 故函数取最小值是． 故选：D． 5．（2025 上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ） A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可． 【解答】解：因为，所以， 考虑函数在（0，2025）的图像，以6为周期， 先考虑一条直线y＝t（t∈R）与函数的整点交点， 注意到在一个周期（0，6]内，可能存在的整点有1，2，4，5，6， 可得，以下分情况讨论： ①当时，x＝2+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点； ... ...
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