专题08 导数及其应用 考点01 导数与切线 5 考点02 导数与单调性 6 考点03 导数与极值、最值 7 考点04 导数与零点 9 熟悉导数的计算和几何意义；掌握导数研究函数的单调性、极值、最值． 1．导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）． 2．导数公式 基本初等函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0 f（x）＝xα（α∈Q且α≠0） f′（x）＝αxα－1 f（x）＝sin x f′（x）＝cosx f（x）＝cos x f′（x）＝－sinx f（x）＝ax（a＞0且a≠1） f′（x）＝axlna f（x）＝ex f′（x）＝ex f（x）＝logax（a＞0且a≠1） f′（x）＝ f（x）＝lnx f′（x）＝ 3．导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）． （2）[cf（x）]′＝cf′（x）． （3）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）． （4）′＝（g（x）≠0）． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′． 5．导数与单调性 （1）f′（x）＞0 f（x）在（a，b）上单调递增． （2）f′（x）＜0 f（x）在（a，b）上单调递减． 6．函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0．则a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0．则b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 7．函数的最值 （1）函数f（x）在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求y＝f（x）在区间[a，b]上的最大（小）值的步骤： ①求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值； ②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．求导 （1）求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． （2）①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 2．确定函数单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域． （2）求f′（x）． （3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． （4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3．函数极值的两类热点问题 （1）求函数f （x）极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数f′（x）． ③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根． ④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号． （2）根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性． 一、选择题（共4小题） 1．（2024 甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2023 新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ） A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2 3．（2023 甲卷）曲线y在点（1，）处的切线方程为（ ） A．yx B ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
