4.1 指 数 学习目标 1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行运算.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值. 知识归纳 知识点一 根式的相关概念和性质 1.a的n次方根的定义 一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n a的n次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 3.根式的定义 式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. 4.根式的性质 根据n次方根的定义,根式具有如下性质: (1)()n= (n>1,且n∈N*). (2)= (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0,记作=0(n>1,且n∈N*). (3)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠. (4)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序. 知识点二 分数指数幂 1.规定正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,n>1). 2.规定正数的负分数指数幂的意义是==(a>0,m,n∈N*,n>1). 3.0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 . (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. (3)整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,即有以下运算性质: ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 知识拓展 (1)=ar-s(a>0,r,s∈Q). (2)=(a>0,b>0,r∈Q). 知识点三 无理数指数幂 1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 . 2.实数指数幂的运算性质: (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 知识拓展 (1)=ar-s(a>0,r,s∈R). (2)=(a>0,b>0,r∈R). 基础自测 1.若+有意义,则a的取值范围是( ) [A][0,+∞) [B][1,+∞) [C][2,+∞) [D]R 2.(人教A版必修第一册P107练习T1改编)下列各等式中成立的是( ) [A]=(a>0) [B]=(a>0) [C]=±(a>0) [D]=-(a>0) 3.若1
0). 题型四 实数指数幂的综合运用 [例4] 已知x+x-1=3,求下列各式的值: (1)+; (2)x2+x-2; (3)x2-x-2. 利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式:x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2. 整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键. [变式训练] 若am=3,an=4,则等于( ) [A]24 [B]12 [C]2 [D]24.1 指 数 学习目标 1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行 ... ... 