4.3.1 对数的概念 学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值. 知识归纳 知识点一 对数的定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (1)对数是由指数转化而来,故底数a、指数或对数x、幂或真数N的取值范围不变,只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法:以a为底N的对数. 知识点二 两类特殊对数 1.以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N. 2.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N. 知识点三 对数的性质 1.loga1=0(a>0,且a≠1). 2.logaa=1(a>0,且a≠1). 3.负数和0没有对数. 4.对数恒等式:=N;logaax=x(a>0,且a≠1;N>0). 基础自测 1.若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围为( ) [A][2,+∞) [B](2,3)∪(3,+∞) [C](-∞,2) [D](2,+∞) 【答案】 B 【解析】 要使对数式log(t-2)3有意义,需 解得t>2,且t≠3.所以实数t的取值范围为(2,3)∪(3,+∞).故选B. 2.下列说法正确的是( ) [A]因为12=1,所以log11=2 [B]因为32=9,所以log39=2 [C]因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2 [D]因为32=9,所以log92=3 【答案】 B 【解析】 当ab=N(a>0,且a≠1)时,b=logaN,选项A的底数为1,错误;选项C的底数为负数,错误;“32=9”的底数为3,所以化为对数后底数也应为3,所以B正确,D错误.故选B. 3.有以下四个结论,其中正确的是( ) [A]lg (lg 10)=1 [B]lg (ln e)=0 [C]若e=ln x,则x=e2 [D]ln (lg 1)=0 【答案】 B 【解析】 因为lg 10=ln e=1,lg 1=0,故A错误,B正确;若e=ln x,则x=ee,故C错误;lg 1=0,而ln 0 没有意义,故D错误.故选B. 4.(人教A版必修第一册P123练习T2改编)计算:lg 100-log5125+= . 【答案】 3 【解析】 设lg 100=x,则10x=100=102,即x=2;设log5125=y,则5y=125=53,即y=3;=4. 所以原式=2-3+4=3. 题型一 对数的概念 [例1] 已知对数式log(a+1)有意义,则a的取值范围为( ) [A](-1,4) [B](-1,0)∪(0,4) [C](-4,0)∪(0,1) [D](-4,1) 【答案】 B 【解析】 由log(a+1)有意义,可知解得-1
0,且x≠1). 【解】 (1)因为23=8,所以log28=3. (2)因为105=100 000,所以lg 100 000=5. (3)因为ex=7,所以ln 7=x. (4)因为log232=5,所以25=32. (5)因为log3=-3,所以3-3=. (6)因为logxb=2,所以x2=b(x>0,且x≠1). 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 指数式与对数式相互转化的过程中,底数是相同的. [变式训练] 将下列指数式与对数式互化: (1)=; (2)=n(n>0); (3)e3=e3; (4)lg 1 000=3; (5)ln a=b; (6)logxy=z(x>0,且x≠1;y>0). 【解】 (1)log64=-. (2)lon=m(n>0). (3)ln e3=3. (4)103=1 000. (5)eb=a. (6)xz=y(x>0,且x≠1;y>0). 题型三 利用对数的定义计算 [例3] 求下列各式中x的值: (1)log27x=-; (2)logx16=-4(x>0,且x≠1); (3)lg =x; (4)-ln e-3=x. 【解】 (1)由题意,x===3-2=. (2)由题意,x-4=16,即=24,而x>0且x≠1,所以=2,解得x=. (3)由题意,10x==10-3,即x=-3. (4)由题意,ln e-3=-x,即e-3=e-x,解得 ... ... 