4.3.2　对数的运算 导学案（含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

4.3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算 学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 知识归纳 知识点　对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. 知识拓展 性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*. 基础自测 1.计算log62+log63等于(　　) [A]0 [B]1 [C]2 [D]3 【答案】 B 【解析】 log62+log63=log6(2×3)=log66=1.故选B. 2.计算log2等于(　　) [A]-2 [B]- [C] [D]2 【答案】 A 【解析】 log2=log22-2=-2.故选A. 3.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T2(2))若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则(　　) [A]a+b=0 [B]a-b=0 [C]ab=1 [D]=1 【答案】 C 【解析】 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg (ab)=0,因此ab=1.故选C. 4.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　　) [A]a-b [B]a-2b [C] [D] 【答案】 B 【解析】 因为lg 3=a,lg 7=b,所以lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.故选B. 题型一　对数运算性质的简单应用 [例1] 求下列各式的值: (1)log3(9×27); (2)lg +lg +lg 100; (3)log7-log7; (4)2log183+log182. 【解】 (1)log3(9×27)=log335=5. (2)lg +lg +lg 100=lg (××100)=lg 1003=lg 106=6. (3)log7-log7=log7(÷)=log7=log77-1=-1. (4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1. 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. [变式训练] 计算下列各式的值: (1)lg 20+lg 5;(2)log336-log312; (3)lo; (4)log535-log5-log514. 【解】 (1)lg 20+lg 5=lg 100=lg 102=2. (2)log336-log312=log3=log33=1. (3)lo=lo=lo=18. (4)log535-log5-log514=log5(35÷÷14)=log5125=log553=3. 题型二　对数式的分拆 [例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值: (1)log230;(2)log2;(3)log2. 【解】 (1)log230=log2(2×3×5)=log22+log23+log25=1+a+b. (2)log2=log25-log29=log25-log232=log25-2log23=b-2a. (3)log2=log21-log22=log215-log220=(log23+log25)-(log24+log25)=(a+b)-(2+b)=--1. 用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化. [变式训练] (湘教版必修第一册P117例3)设A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式: (1)loga;(2)loga. 【解】 (1)loga=loga(xy2)-logaz3=logax+2logay-3logaz=A+2B-3C. (2)loga=3logax+logay-logaz=3A+B-C. 题型三　利用对数的运算性质化简、求值 [例3] 计算下列各式的值: (1)3log3-log3+log34+log37; (2); (3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 【解】 (1)法一　原式=log3-log3+log3+log37=log3-log3+log32+log37=log3=log327=log333=3. 法二　原式=3(1-log32)-(log37-2log32)+log32+log37=3. (2)原式===. (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 利用对数的运算性质化简、求值 (1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用. (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简. [变式训练] 计算下列各式的值: (1)lg -lg +lg; (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2. 【解】 (1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg ... ...