4.4.3 不同函数增长的差异 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型. 知识归纳 知识点 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速 度不变 续 表 函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0) 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logaxx0时,有ax>kx>logax (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型. (3)一次函数增长速度不变,平稳变化. (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上. 基础自测 1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( ) [A]一次函数 [B]幂函数 [C]对数函数 [D]指数函数 【答案】 C 【解析】 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C. 2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是( ) [A]f(x)的增长速度始终不变 [B]f(x)的增长速度越来越快 [C]g(x)的增长速度越来越快 [D]h(x)的增长速度越来越慢 【答案】 B 【解析】 作出三个函数的图象,由图可知A,C,D正确,B错误.故选B. 3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据: x 0.5 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是( ) [A]y=2x [B]y=x2-1 [C]y=2x-2 [D]y=log2x 【答案】 D 【解析】 对于A,当x=0.5时,y=1,与-0.99相差过大,故排除;对于B,当x=2.01时,y=3.040 1,与0.98相差过大,故排除;对于C,当x=2.01时,y=2.02,与0.98相差过大,故排除;对于D,由对数函数性质知,表格里的数与y=log2x图象上的点相差较小,故正确.故选D. 4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( ) [A] [B] [C] [D] 【答案】 B 【解析】 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且函数单调递增,排除A;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C;停止注射后,血液中最终药物含量趋近于0,但不小于0,排除D;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B. 题型一 几类函数增长的差异 [例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为( ) [A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3 [C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2 【答案】 C 【解析】 由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数变化;y1相对于y2增长得要慢一些,相当于y3增长得要快一些,故y1是直线型函数的变化.故选C. 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越 ... ...
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