4.1 两个计数原理 课件(共21张PPT) 2025-2026学年湘教版2019高中数学选择性必修第一册

(课件网) 4.1 两个计数原理 第4章 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 同学们，在我们的日常生活中处处离不开选择，今天，我们想关注的是对于出现相同结果的原因会有多少种，比如说，从我们教室到教学楼外，我们有几个楼梯可以选择，或者我们先从哪个楼梯到达下一层，然后又可以做出选择；比如说，我们去餐厅就餐，我们有多少个窗口可以选择，或者说，我们先在哪几个窗口买馒头，再到哪几个窗口买菜等等，这些问题都涉及到今天我们要研究的基本计数原理. 问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个， 所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码． 问题中最重要的特征是什么？ 最重要的特征是“或”字的出现：每个座位都可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号，有两类方案． 分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 每种方法都能独立地完成这件事 简称为分类计数原理或加法原理 问题2：如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？ 所有途径为6×10＝60(种)． 问题3：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1， B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如右图， 由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码． 分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法. 不能独立地完成一件事，需要几个步骤共同完成一件事 简称为分步计数原理或乘法原理 交流讨论：完成一件事时，如何区分是分类还是分步 “分类”与“分步”的区别: ①“分类”中，每种方法都能完成这件事， 而“分步”中，每一步得到的只能是中间结果，缺少任何一个步骤都不能完成这件事. ②“分类”中，各个类别之间是独立的，而“分步”中，各步之间是关联的. 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为　　　　. 解析：(方法一)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 36 (方法二)分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为　　　　. 36 归纳总结 利用分类加法计数原理的解题步骤： 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，则这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复) 解：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第2步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第3步，有10种拨号方式， ... ...