21.1一元二次方程 课件（24张ppt）人教版数学九年级上册

21.3.1 传播问题与循环问题 单元知识衔接 在前面的学习中，我们已经掌握了一元二次方程的多种解法，包括直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法。这些方法为我们解决实际问题奠定了基础。本节课，我们将深入探讨一元二次方程在传播问题和循环问题中的应用，学会如何通过建立方程模型来解决这类实际问题，进一步体会数学与生活的紧密联系。 情境导入：生活中的传播现象 在日常生活中，我们经常会遇到各种传播现象。比如，传染病的传播，一个人患了流感，经过一段时间，会有越来越多的人被传染；再比如，信息的传播，一条有趣的新闻在网络上迅速扩散，知晓的人数不断增加。下面，我们通过一个具体的例子来分析传染病的传播问题。 传播问题示例：流感的传播 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析问题： 设每轮传染中平均一个人传染了\(x\)个人。 第一轮传染：原本有\(1\)个患病的人，这个人传染给了\(x\)个人，所以第一轮结束后共有\((1 + x)\)个人患了流感。 第二轮传染：在第一轮结束后的\((1 + x)\)个患病的人中，每个人又传染给\(x\)个人，那么第二轮新增加的患病人数为\(x(1 + x)\)个人。所以第二轮结束后，患流感的总人数为\(1 + x + x(1 + x)\)个人。 列出方程： 根据经过两轮传染后共有 121 人患了流感，可列出方程\(1 + x + x(1 + x)=121\)。 对\(1 + x + x(1 + x)\)进行变形，可利用提公因式法，将\(1 + x\)看成一个整体，得到\((1 + x)(1 + x)=(1 + x)^2\)。 所以方程变为\((1 + x)^2 = 121\)。 解方程： 对\((1 + x)^2 = 121\)两边开平方，得到\(1 + x=\pm11\)。 当\(1 + x = 11\)时，解得\(x = 10\)。 当\(1 + x = -11\)时，解得\(x = -12\)。 因为传染的人数不能是负数，所以\(x = -12\)不符合实际情况，应舍去。 所以每轮传染中平均一个人传染了\(10\)个人。 思考与拓展 如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？ 第一轮结束后有\((1 + x)\)个人患流感，这里\(x = 10\)，即第一轮后有\(1 + 10 = 11\)人患流感。 第二轮结束后有\((1 + x)^2\)个人患流感，即\((1 + 10)^2 = 121\)人患流感。 第三轮传染：在第二轮结束后的\((1 + x)^2\)个患病的人中，每个人又传染给\(x\)个人，那么第三轮新增加的患病人数为\(x(1 + x)^2\)个人。所以第三轮结束后，患流感的总人数为\((1 + x)^2 + x(1 + x)^2=(1 + x)^3\)。 把\(x = 10\)代入\((1 + x)^3\)，得到\((1 + 10)^3 = 1331\)人。 所以经过三轮感染后共有\(1331\)个人患流感。 传播问题的一般规律： 对于传播问题，设传播前的数量为\(p\)（在流感传播问题中\(p = 1\)），每轮传播速度为\(q\)（在上述例子中\(q = x\)），经过\(n\)轮传播后，传播后的数量\(m\)满足公式\(m = p(1 + q)^n\)。 在这个流感传播的例子中，\(p = 1\)，\(q = 10\)，\(n = 3\)时，\(m = 1??(1 + 10)^3 = 1331\)。 传播问题解题步骤总结 审题：仔细理解题目所描述的传播情境，明确传播前的初始数量、每轮传播的方式以及最终要求的传播结果。 设元：设出每轮传播中平均一个个体传播给其他个体的数量为未知数，一般用\(x\)表示。 列方程：根据传播过程，分析每一轮传播后的数量变化，找到等量关系，列出一元二次方程。通常，经过\(n\)轮传播后，传播后的总量可以表示为关于\(x\)的一元二次方程形式。 解方程：运用我们学过的一元二次方程的解法，如直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法，求出方程的解。 检验：把求得的解代入原方程，看是否满足方程。同时，要根据实际问题的背景，检验解是否符合实际意义，比如人数不能为负数，物品数量不能为小数（在一些情况下）等，舍去不符合实际的解。 作答：写出最终符 ... ...