第1章 微专题1　基底法求线线角与点点距（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

微专题1　基底法求线线角与点点距 典例剖析素养初现 拓展1　基底法求线线角 例1　(教材P15第7题)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD. (例1) (1) 求证：EF⊥B1C； 【解答】 因为＝＋＝－＋(＋)＝－－＋，＝＋＝－＋，所以·＝·(－＋)＝2－2＝0，所以⊥，即EF⊥B1C. (2) 求EF与C1G所成角的余弦值． 【解答】 因为＝＋＝－－，所以·＝·＝2－2＝.记EF与C1G所成的角为θ，易得EF＝，C1G＝，则cos θ＝＝＝，即EF与C1G所成角的余弦值为. 变式1　如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点． (变式1) (1) 求证：AE⊥BC； 【解答】 因为＝－＝(＋)－，＝－，所以·＝·(－)＝2－2－·＋·.又因为DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以·＝0，故AE⊥BC. (2) 求异面直线AE与DC所成角的余弦值．　 【解答】 ·＝·＝·＋2－·＝2＝2.由||2＝2＝2＋2＋2＝6，得||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，故异面直线AE与DC所成角的余弦值为. 拓展2　基底法求点点距 例2　在自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，求该晶胞的对角线AC1的长． (例2) 【解答】 如图，＝＋＝＋＋＝＋＋.由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，从而||＝，故该晶胞的对角线AC1的长为. (例2答) 变式2　已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且BD与α所成的角是30°(点C，D在平面α同侧)．若AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 【解答】 由AC⊥α，知AC⊥AB.如图，过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，则∠DBD′＝30°，〈，〉＝120°，所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝b2＋a2＋b2＋2b2·cos 120°＝a2＋b2，故CD＝. (变式2答) 涉及空间直线的垂直、平行，线段长度、夹角等问题，可以利用基向量，通过数量积的运算或共线定理来解决． (1) 线线垂直可用a·b＝0证明，线线平行可用a＝λb证明，其中a，b用基向量表示； (2) 异面直线所成的角可用公式cos θ＝求解，其中a，b用基向量表示； (3) 线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式|a|＝计算，其中a用基向量表示． 随堂内化及时评价 1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别为AB，B1C的中点，且AB＝a，则MN等于(　A　) (第1题) A. a B. a C. a D. a 【解析】 由题图知＝＋＋＝＋＋(－＋)＝＋＋，则||2＝a2＋a2＋a2＝a2，所以MN＝a. 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　B　) A. 平行　　　　 B. 垂直　　　 C. 相交　　　　 D. 不确定 【解析】 由题知＝＋，＝＋＋＝－(＋)＋＋＝－＋.设||＝a，则·＝·＝－2＋·－·＋2＝－a2＋a2＝0，所以⊥，即ON⊥AM. 3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BC1与AC所成角的大小为(　C　) (第3题) A. 　 B. 　　 C. 　　 D. 【解析】 不妨设正方体的棱长为1，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋·＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1.又因为||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝.因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝，所以异面直线BC1与AC所成角的大小为. 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为． (第4题) 【 ... ...