第一章 2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

第2课时　等差数列的前n项和的性质 【课前预习】 知识点一 1.Sk　S2k-Sk　S3k-S2k 4.(1)d　(2)a中　a中　a中　 诊断分析 (1)√　(2)× 知识点二 1.n2+n　二次 2.(1)最大　最小　(2)最小　最大 诊断分析 解:若等差数列的公差d>0,则该数列的前n项和有最小值,没有最大值;若等差数列的公差d<0,则该数列的前n项和有最大值,没有最小值.所以等差数列的前n项和不是都有最大值与最小值. 【课中探究】 探究点一 例1　45　[解析] 根据等差数列前n项和的性质得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2×(21-6)=6+S12-21,解得S12=45. 变式　A　[解析] 因为S19==19a10,T19==19b10,所以===.故选A. 拓展　解:(1)设该等差数列前12项中偶数项的和为S偶,奇数项的和为S奇,则解得 由S偶-S奇=6d,得d=5. (2)方法一:设等差数列{an}的公差为d, 则由题意可得 解得则S20=20×+×=-25. 方法二:∵数列{an}是等差数列,∴S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16也成等差数列,设其公差为d1. ∵S4+(S8-S4)+(S12-S8)=S12,∴3S4+×d1=S12, 又S4=11,S12=9,∴d1=-8,∴S20=5S4+×d1=5×11+10×(-8)=-25. (3)方法一:=====. 方法二:==,不妨设Sn=2n2+2n,Tn=n2+3n,∴a5=S5-S4=20,b5=T5-T4=12, ∴==. (4)∵Sn是等差数列{an}的前n项和, ∴是等差数列,设其公差为d. ∵-=-4,∴-4d=-4,解得d=1. ∵a1=-2021,∴=-2021, ∴=-2021+(n-1)×1=-2022+n, ∴=-2022+2023=1,∴S2023=2023. 探究点二 例2　解:方法一:设等差数列{an}的公差为d,则由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2, ∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169. 由二次函数的性质得,当n=13时,Sn取得最大值,且最大值为169. 方法二:设等差数列{an}的公差为d,则由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2,则an=25+(n-1)×(-2)=27-2n. 由得 即12≤n≤13. 又n∈N*,∴当n=13时,Sn取得最大值,且最大值为169. 变式　解:(1)记{an}的公差为d,因为a3-a5=-2d=4,所以d=-2, 因为a4=a1+3×(-2)=4,所以a1=10, 所以an=10+(n-1)×(-2)=12-2n. (2)Sn=n2+n=-n2+11n=-+,n∈N*, 由二次函数的图象可知,当n取与最接近的正整数,即n=5或6时,Sn最大, 所以Sn的最大值为S5=S6=30. 探究点三 例3　C　[解析] 由题意知赵老师每天跑步的路程构成数列{an},该数列从第6项开始构成以4.4为首项,0.4为公差的等差数列,所以an=(n∈N*).设数列{an}的前n项和为Sn,则当n>5时,Sn=20+.由题意得20+≥180,化简可得n2+11n-880≥0.设函数f(x)=x2+11x-880,则易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,当n=24时,242+11×24-880<0,当n=25时,252+11×25-880>0,故他要完成该计划至少需要25天.故选C. 变式　解:(1)设8月n日售出的该款服装的件数为an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak(k∈N*,1≤k≤31)件. 由题意知解得 ∴8月13日该款服装销售最多,最多售出39件. (2)设Sn是数列{an}的前n项和, 由(1)及题意知an= ∴Sn= ∵S13=273>200, ∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,n∈N*, 当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31,n∈N*. ∴该款服装在社会上流行11天(从8月12日到8月22日).第2课时　等差数列的前n项和的性质 【学习目标】 1.掌握等差数列前n项和的性质. 　　2.能利用等差数列前n项和的函数性质求前n项和的最值. 　　3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. ◆ 知识点一　等差数列的前n项和的性质 1.若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,k∈N*,那么　　　　,　　　　,　　　　成等差数列,如图所示. 2.若Sn,Tn分别为等差数列{an}和{bn}的前n项和,那么=. 3.若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,则数列也是等差数列. 4.设数列{an}是公差为d的等差数列,S奇是前n项中奇数项的和,S偶是前n项中偶数项的和,则数列{an}的前n项和Sn=S奇+S偶,当等差数列的项数n ... ...