2025-2026学年湖南省长沙市望城六中高三（上）10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则下列错误的是( ) A. B. C. D. 2.设，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则( ) A. B. C. D. 4.已知，，则( ) A. B. C. D. 5.已知圆台的上、下底面半径分别为和，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，若成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为( ) A. B. C. D. 8.定义在上的可导函数满足，且在上有若实数满足，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题正确的是( ) A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于 B. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知随机变量的方差为，则的标准差是 D. 已知随机变量，若，则 10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是( ) A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有个零点 11.已知抛物线：的焦点为，过焦点的一条直线交抛物线于，两点，满足且直线的斜率存在，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，点在直线左侧的抛物线上，则( ) A. 直线的斜率为 B. 当面积最大时，点的坐标为 C. 点，，为坐标原点共线 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线：的准线为，点在上，直线：，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_____． 13.已知函数为自然对数的底数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 14.的展开式中的系数为，则的展开式中常数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，的对边分别是，，，已知． 求角； 点在线段上，且满足若，求的面积． 16.本小题分 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点． 求证：平面； 求平面与平面所成角的余弦值． 17.本小题分 设等差数列的前项和为，已知，． 求的通项公式； 求数列的前项和． 18.本小题分 双曲线中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． 求的方程； 记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 19.本小题分 已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程． 证明：在上单调递增． 若，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.证明：，为的中点， ， 四棱锥的底面是矩形， ， ∽，， 而，即， 底面，底面， ，而，，平面， 平面；分 解：平面，，平面， ，， 四棱锥的底面是矩形， ，建立如图所示的空间直角坐标系，分 ，分 平面， 平面的法向量为，分 设为平面的法向量，，， 于是有，可得，即， 取，则平面的法向量，分 平面与平面所成角的余弦值为分 17. 18.解：双曲线中心为原点，左焦点为，离心率为， 则，解得， 故双曲线的方程为； 证明：过点的直线与的左支交于，两点， 则可设直线的方程为，，， 记的左，右顶点分别为，， 则，， 联立，化简整理可得，， 故且， ，， 直线的方程为，直线方程， 故 ， 故，解得， 所以， 故点在定直线上运动． 19.当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 证明：的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 证明：由得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所 ... ...
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