4.2 指数函数 第1课时 指数函数的概念 学习 目标 1. 了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念． 2. 能用描点法或借助工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 新知初探基础落实 问题1：一尺之锤，日取其半．意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半．那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？ 问题2：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么该种细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？ 一、 生成概念 探究1：什么是指数函数增长模型和指数衰减模型？ 问题3：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．如下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 时间/年 A地景区 B地景区 人次/ 万次 年增加量/ 万次 人次/ 万次 年增加量/ 万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1 005 102 2014 732 11 1 118 113 2015 743 11 1 244 126 思考1：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？ A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一些，而B地则更快． 可以采用作图的方式继续研究2016年、2017年乃至后面的游客人次． 根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后15年内游客人次的图象(图(1)和图(2)). 图(1) 图(2) 思考2：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？ 观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为10万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 ＝≈1.11， ＝≈1.11， …… ＝≈1.11， 值不变，所以B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1＝0.11，是一个常数． 结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长． 问题4：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 思考3：按照上述变化规律，生物体内碳14含量呈什么形式衰减？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么： 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1－p)1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1－p)2； 死亡3年后，生物体内碳14含量为(1－p)3； …… 死亡5 730年后，生物体内碳14含量为(1－p)5 730. 根据已知条件，(1－p)5 730＝，从而1－p＝，所以p＝1－. 所以死亡生物体内碳14含量每年都以1－的衰减率衰减． 结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 探究2：指数函数的概念． (1) 问题3中，x年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？ 从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的1.11x倍； 如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么 ... ...
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