4.4　第4课时　不同函数增长的差异（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第4课时　不同函数增长的差异 学习 目标 1. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2. 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P136—P138，完成下列填空． 　　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 _ _ _ _ _ _ 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度 不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有 注意： (1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． (3) 一次函数增长速度不变，平稳变化． (4) 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 典例精讲能力初成 探究1　几种函数模型增长的差异 例1　(1) 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是 (　 　) A. y＝·ex　 B. y＝100ln x C. y＝100x　 D. y＝100·2x (2) 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是 ． 变式　已知函数y1＝3x，y2＝log3x，y3＝x3，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　 　) A. 当x∈(0，＋∞)时，函数y1，y2，y3均为增函数 B. 当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度一直快于y3 C. 当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y2 D. 当x∈(0，＋∞)时，y3的增长速度一直快于y1 探究2　指数函数与一次函数增长的差异 例2　每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？ 虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于y＝ax(a>1)的增长最终会快于y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx. 探究3　对数函数与一次函数增长的差异 例3　已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (例3) (1) 指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2) 比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax(a>1)可能会大于kx，但由于y＝logax(a>1)的增长慢于y＝kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax