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课件网) 第七讲 半角模型 初中几何综合复习 (1)角含半角模型90°-1 条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°: 结论:①EF=DF+BE:②△CEF的周长为正方形ABCD边长的1/2倍;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF. 也可以这样: 条件:①正方形ABCD: ②EF=DF+BE结论:∠EAF=45° (2)角含半角模型90°-2 条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°: ③FA平分∠DFE. 结论:EF=DF-BE (3)角含半角模型90° 条件:①等腰Rt△ABC:②∠DAE=45°:结论:BD2+CE2=DE2: 若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2+CE2=DE2仍然成立。 (4)角含半角模型90°变形 条件:①正方形ABCD:②∠EAF=45°: 结论:①△AHE为等腰直角三角形:②A、B、E、H四点共圆:③G、E、F、H四点共圆. ◎证明提示:①连接AC,先证△ADH∽△ACE，再证△AHE∽△ADC 即可. ②证得∠AHE=∠ABE=90°即可:③证得∠AEH=∠AFG=45°即可. 二、角含半角模型120° 条件:如图，四边形ABCD中，AB=AD， ∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC =180°,∠EAF= ∠BAD， 点E在直线BC上,点F在直线CD上 结论:BE、DF、EF满足截长补短关系 模型分析 (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点: (2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系: (3)常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 1、已知菱形 ABCD 中，∠A=60°，点E为边AD上一个动点(不与点A，D重合)，点F在边DC上，且AE=DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF. (1)依题意补全图形; (2)求证:△BEF为等边三角形; (3)用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明. （2）证明： ∵菱形ABCD中 ∠A=60 ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=BD ∠A=∠BDC=60 AE=DE ∴△ABE≌△DBF ∴BE=BF ∠ABE=∠DBF ∵∠ABE+∠EBD=60 ∴∠DBF+∠EBD=60 ∴∠EBF=60 ∴△BEF是等边三角形 （3）证明： ∵∠GDF=120 ∠BDF=60 ∴BDG在一条直线上 过D做DH⊥GF于H ∵DF=DG ∴GH=FH ∠GDH=∠FDH=60 sin60 =GH/DG ∴√3DG=2GH ∴DG=√3/3GF BD=CD=DF+CF=DG+CF BD=DG+DG+CF=2DG+CF BD=2√3/3GF+CF 2、如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题: (1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长 EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF 是正方形; (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. （1）证明： 分别以AB、AC为对称轴，做D点的对称点E、 F，连接AE、AF，延长EB、FC交于G。 由对称性质可知： ∠BAE=∠BAD ∠CAF=∠CAD ∵∠BAC=45 ∴∠EAF=90 ∠AEB=∠ADB=90 ∠AFC=∠ADC=90 ∴AEGF是矩形 又AE=AF=AD ∴AEGF是正方形 （2）解： 设AD=x ∵BD=4 CD=6 ∴BE=4 CF=6 ∵正方形AEGF ∴EG=FG=AD=x ∴BG=x-4 ∴CG=x-6 ∵∠BGC=90 ∴BG2 +CG2 =BC2 (x-4)2 +(x-6)2 =102 解得x=-2（舍去） x=12 3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AB，AD上，∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF.，GH. (1)填空:∠AHC____∠ACG;(填“>”或“<”或“=”) (2)线段AC,AG，AH什么关系 请说明理由; (3)设AE=m，①△AGH的面积S有变化吗 如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化，请求出定值. ②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值. (1)解： ∵AC是正方形对角线 ∴∠DAC=45 ∴∠ACH+∠AHC=45 ∵∠ECF=45 ∴∠ACH+∠ACG=45 ∠AHC=∠ACG (2)AC2 =AH·AG 证明： ∵AC是正方形对角线 ∴∠CAG=∠HAC=135 ∴△CAG∽△HAC AC/AH=AG/AC ∴AC2 =AH·AG (3)证明： 当CG=HG时， ∵∠ECF=45 ∴∠CHG=45 ∴∠HGC=90 ... ...
