6.1.3 全概率公式 课件（17页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第六章 概率 6.1.3 全概率公式 1.结合古典概型，理解全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式. 回顾：你还记得乘法公式吗？ 思考：一般地，如果已知 P(BA) 与 ，能否求出 P(B)？ 如果已知 ，能否求出 P(B)？ 一般地，如果样本空间为 Ω ，而 A，B 为事件，则 BA 与 是互斥的，且 更进一步，当P(A) > 0且 时， 因为乘法公式有 全概率公式 1.乘法公式： 2.全概率公式： 例1：某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 . 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解：如果用 A 与 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B 表示是女生；则根据已知，有 而且 方法二：假设参加活动的甲班人数为5n，则乙班人数为3n，而且甲班中有女生 3n 人，乙班中有女生 n 人. 从而可知参加活动的总共有 5n + 3n = 8n 人，而女生有 3n + n = 4n人， 因此所求概率为 方法三：可以借助如下图的树状图来理解. 例1：某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 . 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 前面提到的全概率公式： 由此，若将样本空间分成更多互斥的部分，如右图，从而得到如下结论. 本质上是将样本空间分成互斥的两部分 (即 A 与 ) 后得到的. 定理 1：若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，… ，An 满足： （1）任意两个事件均互斥，即 （2） （3） 则对 Ω 中的任意事件 B，都有 B = BA1 + BA2 + … + BAn，且 上述公式也称为全概率公式；当 n = 3 时的情形可借助下图理解. 1.乘法公式： 2.全概率公式： 解：用 A1，A2，A3 分别表示买到的智能手机为甲品牌，乙品牌，其他品牌，B 表示买到的是优质品，则依据已知可得 例2：某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示. 假设在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 分析：可以用 A 表示优质品，B 表示包装达标，则 表示不是优质品，而且有 问题中所要求的是 P(A|B)， 由条件概率可知： 但已知条件中并没直接给出P(AB)，P(B)； 故可通过乘法公式和全概率公式得： 例3：已知某厂生产的食盐，优质品率为90%. 优质品中，包装达标的占95%； 非优质品中，包装达标的占80%. 如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋， 发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质品的概率为多少（精确到0.1%）？ 因此一袋包装达标的食盐是优质品的概率为 贝叶斯公式及推广 一般地，当 1 > P(A) > 0 且 P(B) > 0 时，有 贝叶斯公式推广：定理2：若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，… ，An 满足： （1）任意两个事件均互斥，即 （2） （3） 则对 Ω中的任意概率非零的事件B，有 贝叶斯公式 解：（1）设事件 Ai 表示“来自第 i 个地区， i = 1，2，3”；事件 B 表示“感染此病”. 1. 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为 ．现从这三个地区任抽取一个人． （1）求此人感染此病的概率；(结果保留三位小数) （2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率. (结果保留三位小数) 由已知可得， ， ， ， 所以， ， ， ， 1. 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为 ．现从这三个地区任抽取一个人． （2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率. (结果保留三位小数) 回顾：本节课你学到了哪些知识？ 全概率公式 贝叶斯公式 ... ...