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课件网) 第六章 概率 6.5 正态分布 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布去解决实际问题. 情境：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举. 德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线. 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差 (实际质量减去标准质量). 用 X 表示这种误差，则 X 是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了 100 袋食盐，获得误差 X (单位: g) 的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 （1）如何描述这 100 个样本误差 数据的分布 （2）如何构建适当的概率模型 刻画误差 X 的分布 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 X 4 6 (1) 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在 X = 0 的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 X 4 6 图(2) 根据频率与概率关系，用图 (3) 中的钟形曲线 (曲线与水平轴之间的区域的面积为1) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2，-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 0 -6 -4 2 0 -2 f (x) 0.05 0.10 0.15 0.20 X 4 6 图(3) 随着样本数据量越来越大，分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示. 思考1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢 刻画随机误差分布的解析式： 其中μ∈R，σ > 0 为参数. 显然，对任意的 x∈R，f (x) > 0，它的图象在 x 轴的 上方，x 轴和曲线之间的区域的面积为1. f (x) 称为正态密度函数，它的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线； 若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f (x) ，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X ~ N(μ, σ2). 特别地，当μ = 0，σ = 1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布. 若 X ~ N (μ，σ2)，则如图(4)所示，X 取值不超过 x 的概率 P (X ≤ x) 为图中区域 A 的面积，而 P (a ≤ X ≤ b) 为区域 B 的面积. (4) 思考2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点 由 X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: （1）曲线是单峰的，它关于直线 x = μ 对称； （2）曲线在 x = μ 处达到峰值 （3）当 |x| 无限增大时，曲线无限接近 x 轴. 思考3：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征 由于正态曲线关于 x = μ 对称，故当参数σ 固定时，正态曲线的位置由 μ 确定，且随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，所以参数 μ 反映了正态分 ... ...
