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课件网) 第五讲 手拉手模型2 初中几何综合复习 一、手拉手--全等 (1)等边三角形 条件:△0AB,△0CD均为等边三角形. 结论:①△0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=60° ④0E平分∠AED;⑤点E在△OAB的外接圆上. (2)等腰直角三角形 条件:△0AB,△0CD均为等腰直角三角形 结论:①0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=90° ④0E平分∠AED;⑤点E在△OAB的外接圆上. (3)任意等腰三角形 条件:△0AB,△0CD均为等腰三角形 结论:①△0AC≌△0BD;②AC=BD;③∠AEB=∠AOB;④OE平分∠AED(或∠AED的外角);⑤点E在△ OAB 的外接圆上. 二、手拉手模型--相似 (1)一般情况 条件:CD//AB(△0CD∽△0AB)，将△OCD旋转至右图位置 结论:右图中①△OCD∽△OAB △OAC∽△0BD;②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB:③点E在△OAB的外接圆上. (2)特殊情况 条件:CD//AB(△0CD∽△0AB)，∠AOB=∠COD=90°，将△OCD旋转至右图位置. 结论:右图中①△0CD∽△OAB △OAC∽△0BD;②(延长)AC交BD于点E，必有∠AEB=90°(BD⊥AC): ③连接AD、BC，则SABCD =1/2×AC×BD: ④BD/AC=OD/OC=OB/OA=tan∠OCD: ⑤点E在△0AB的外接圆上(A,0,E,B四点共圆);⑥必有AD + BC =AB +CD 1、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC 上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE. (1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明: (2)过点M作 AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明. （1）① 证明： ∠BAC=α ∠EAD=α ∴∠BAC=∠EAD ∠BAC=∠BAD+∠CAD ∠EAD=∠BAD+∠BAE ∴∠BAE=∠CAD （1）② 证明： ∴∠BAE=∠CAD AB=AC AE=AD ∴△ABE≌△ACD ∴BE=CD BM=MC MC=MD＋CD=MD＋BE ∴BM=MD＋BE （2）证明： 过E点做EH∥MN ∵MN⊥AB ∴EH⊥AB ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵△ABE≌△ACD ∴∠ABE=∠ACB ∴∠ABE=∠ABC ∴BE=BH=CD BM=BH+HM CM=CD＋MD BM=CM ∴HM=MD ∵EH∥MN ∴NE=ND 一题多解 2、已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转α(0°<α<90°),得到线段BE,连接 EA,EC。 (1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若 BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC= °,四边形ABCE的面积为_____; (2)当点E在正方形ABCD 的外部时， ①在图2中依题意补全图形,并求∠AEC的度数; ②作∠EBC 的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF,用等式表示线段AE,FB,FC之间的数量关系,并证明. （1）① 解： ∵BA=BE BE平分∠ABC ∠ABC=90 ∠AEB=45 ∵∠AEB=(180 -45 ) ÷2=67.5 同理∠BEC=67.5 ∴∠AEC=135 （1）② 解： SABCE =S△ABC + S△ACE = ×AC×BO＋ ×AC×EO = ×AC×(BO+EO) = ×AC×BE = ×4√2×4 =8√2 （2）① 解： ∵∠ABC=90 ∠ABE=α ∠EBC=90 ＋α BE=BC ∴∠BEC=45 - α BE=AB ∴∠AEB=90 - α ∴∠AEC=∠AEB-∠BEC=45 ∠AEC=45 等线段 共端点 必旋转 （2）② 证明： 过点B做BH⊥BF交FC延长线于H, ∵BF是∠EBC角平分线 AB=BC ∴BF是EC的垂直平分线 ∴EF=CF ∠FEC=45 ∴△CEF是等腰直角三角形 ∴∠EFB=∠CFB=45 ∴∠BHF=45 ∴△BHF是等腰直角三角形 ∴FH=√2FB ∵∠ABC=∠FBC ∴∠1=∠2 AB=CB ∴△ABF≌△CBH ∴AF=CH FH=FC+CH =FC+AF =FC+FC-AE =2FC-AE ∴2FC-AE=√2FB FC+FC AE=FB 2FC AE=FB ② 一题多解 做 CH⊥AC，∠1=∠3=∠2，∠BCD=∠ECH=90°，所∠BCF=∠ACH。 因为==，所以△BCF △ACH。所以=，因此BF=AH=AF+FH=EF AE+FH=2FH AE= 2FC AE 一题多解 一题多解 一题多解 做 CH⊥FC交 FB 延长线于 H，△AEC △BHC。 = 所以BH=AE。又因为FB+BH=FC， 所以FB+AE=FC，进而FB=2FC AE。 入手点找FC为 EC，AE 为 45° 角的一边可转化到 EC 上， 所以过 A 作 AH⊥EC 于 H，连接 HB， ... ...
