5.4　第2课时　正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　正弦函数、余弦函数的性质———周期性与奇偶性 学习 目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期． 2. 通过图象直观理解奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，能确定相应的对称轴和对称中心． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P201—P202，完成下列填空． 1. 函数的周期性：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数， 叫做这个函数的周期． 2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 最小正周期 f(x)＝sin x _ _ _ _ f(x)＝cos x _ _ _ _ f(x)＝ A sin (ωx＋φ) 当 时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数； 当 时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数 _ _ 典例精讲能力初成 探究1　求三角函数的周期 例1　(课本P201例2)求下列函数的周期： (1) y＝3sin x，x∈R； (2) y＝cos 2x，x∈R； (3) y＝2sin ，x∈R. 求三角函数周期的方法：(1) 定义法：利用周期函数的定义求解．(2) 公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3) 图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 变式　求下列函数的最小正周期： (1) f(x)＝2sin ； (2) f(x)＝2cos ； (3) f(x)＝|cos x|. 探究2　三角函数的奇偶性 例2　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝sin ； (2) f(x)＝sin |x|； (3) f(x)＝＋. (1) 判断函数奇偶性时，一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系． (2) 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 变式　(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　 ) A. y＝|cos x|　 B. y＝sin 2x C. y＝sin 　 D. y＝cos x 探究3　正、余弦函数的对称轴、对称中心 1. 正弦函数y＝sin x的对称轴为直线 ，对称中心为 ． 2. 余弦函数y＝cos x的对称轴为直线 ，对称中心为 ． 例3　函数y＝sin 的图象(　 　) A. 关于点对称 B. 关于直线x＝对称 C. 关于点对称 D. 关于直线x＝对称 (1) 定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点． (2) 公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z). 变式　已知函数f(x)＝sin (x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝ ． 新视角　抽象函数的周期性问题 结论1　若函数y＝f(x)的图象的一个对称中心为(a，0)，且一条对称轴为x＝b(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝4|a－b|是函数f(x)的一个周期． 结论2　若函数y＝f(x)的图象的两个对称中心分别为(a，0)与(b，0)(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期． 结论3　若函数y＝f(x)的图象的两条对称轴为x＝a，x＝b，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期． 结论4　若a是非零常数，且对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x都有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期． ①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)； ③f(x＋a)＝；④f(x＋a)＝－. 例4　若奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2.5)＝2，则f(－0.5)＝ ． 变式1　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　 　) A. 函数f(x)是以2为周期的周期函数 B. 函数f(x)是以4为周期的周期函数 C. 函数f(x－1)为奇函数 D. 函数f(x－3)为偶函数 变式2　已知函数f(x)对于任意x∈R满足f(x＋3)＝，且f(1)＝， ... ...