5.5　第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习 目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和(差)的正弦与正切公式． 2. 会用两角和与差的三角函数进行简单的三角函数的求值、化简、计算． 新知初探基础落实 问题1：试比较cos (α－β)和cos (α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 例如，比较cos (α－β)与cos (α＋β).注意到α＋β与α－β之间的联系α＋β＝α－(－β)，则由公式C(α－β)，有cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos α·cos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－ sin αsin β，于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α＋β). C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 探究：上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化．你能根据C(α＋β)，C(α－β)及诱导公式五(或六)，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin (α＋β)，sin (α－β)的公式吗？ 通过推导，可以得到： S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (1) 注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2) 公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 问题3：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 探究：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α＋β)，tan (α－β)的公式吗？ 思考：由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 通过推导，可以得到： T(α＋β)：tan (α＋β)＝； T(α－β)：tan (α－β)＝. 公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式． 类似地，C(α－β)，S(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式． 请同学阅读课本P217—P220，完成下列填空． 1. 两角和与差的余弦公式 C(α＋β)：__cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β__． C(α－β)：__cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β__． 记忆要诀：两角差(和)的余弦值等于两角的余弦值乘积加上(减去)两角的正弦值乘积． 2. 两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：__sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β__． S(α－β)：__sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β__． 记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同． 3. 两角和与差的正切公式 T(α＋β)：__tan (α＋β)＝__． T(α－β)：__tan (α－β)＝__． 注意：①Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②Tα±β公式的变形：tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan α· tan β的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端的加减号相反． 典例精讲能力初成 探究1　两角和与差的余弦、正弦公式及简单应用 例1　(课本P218例3部分)已知sin α＝－，α是第四象限角，求sin ，cos 的值． 【解答】由sin α＝－，α是第四象限角，得cos α＝＝＝，于是有sin＝sin cos α－cos sin α＝×－×＝；cos ＝cos cos α－ sin sin α＝×－×＝. 变式　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α＋β)，si ... ...