第5课时 简单的三角恒等变换———辅助角公式及其应用 学习 目标 1. 理解辅助角公式的本质，能用辅助角公式化简三角函数式． 2. 体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P227—P228，完成下列填空． 一、 概念表述 1. 对于形如a sin x＋b cos x的式子，可变形如下： a sin x＋b cos x＝. 由于上式中和的平方和为1，故令cos φ＝，sin φ＝，则a sin x＋b cos x＝ ＝ ．其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定. 二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) sin α＋cos α＝sin .( ) (2) 若2sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，则φ的值唯一．( ) (3) 若sin x－2cos x＝sin (x＋φ)，则tan φ＝2.( ) 典例精讲能力初成 探究1 辅助角公式及其简单应用 例1 (1) 已知sin ＝，则cos x＋cos ＝ ． (2) 计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝ ． 探究2 利用辅助角公式研究函数性质 例2 已知函数f(x)＝2sin －2cos x，x∈，求函数f(x)的值域． 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为简单的三角函数．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 变式 (2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1) 求φ； (2) 设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． 探究3 辅助角公式的实际应用 例3 (课本P227例10)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． (例3) 变式 如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？ (变式) 随堂内化及时评价 1. (2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是 ． 2. cos 15°＋sin 15°＝( ) A. B. － C. － D. 3. 若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则下列结论正确的是( ) A. ab C. ab<1 D. ab>2 4. 已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是( ) A. － B. C. D. － 5. 如图，在半径为R，圆心角为的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为 ． (第5题) 配套新练案 一、 单项选择题 1. 若sin α－cos α＝，则cos 等于( ) A. B. － C. D. － 2. 已知f(x)＝4sin x cos x＋4cos2x＋a的最大值为2，则a的值为( ) A．－2－2 B. －2＋2 C. 2－2 D. 2＋2 3. 函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期和最大值分别为( ) A. 和1 B. 和－1 C. π和2 D. 2π和－2 4. 已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．[，＋∞) B. (－∞，] C. (－∞，－] D. [－，] 二、 多项选择题 5. 化简cos α－sin α的结果可以是( ) A. cos B. 2cos C. sin D. 2sin 6. 若函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x，则( ) A. f(x)图象的一条对称轴方程为x＝ B. f(x)图象的一个对称中心为 C. f(x)的最小值是 D. f(x)的最大值是 三、 填空题 7. 函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是 ． 8. 函数f(x)＝2sin cos ＋在[0，π]上的最大值为 ；若方程f(x)＝a在[0，π]内有两个解x1，x2，则sin (x1＋x2)＝ ． 四、 解答题 9. 设函数f(x)＝cos x cos ＋sin2x－. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2) 当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 10. (2025·绍兴期末)已 ... ...
