第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 学习 目标 1. 能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式． 2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 新知初探基础落实 由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法： 典例精讲能力初成 探究1 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的综合变换 例1 把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝( B ) A. sin B. sin C. sin D. sin 【解析】将y＝sin 的图象先向左平移个单位长度得到y＝sin ＝ sin 的图象，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到y＝sin 的图象，所以f(x)＝sin . 变式 (课本P239练习3)函数y＝sin 的图象与正弦曲线有什么关系？ 【解答】y＝sin 的图象可以通过正弦曲线的平移、伸缩而得到．y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象；横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到y＝sin 的图象；纵坐标缩短为原来的，横坐标不变得到y＝sin 的图象． 探究2 由图象确定函数的解析式 例2 如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． (例2) 【解答】由题图知A＝3，T＝－＝π，所以ω＝＝2，所以y＝3sin (2x＋φ).因为点在函数图象上，所以0＝3sin ，所以－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝，所以y＝3sin . 给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：(1) A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2) ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.(3) φ：从“五点法”中的第一个点(或最大、最小值点)作为突破口． 变式 已知函数y＝sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( B ) (变式) A. 2， B. 2， C. 4， D. 4， 【解析】由函数的图象可得，函数的周期T＝2＝π，则＝π，所以ω＝2.函数图象过点，则sin ＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝. 探究3 y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 例3 若函数f(x)＝A sin 在一个周期内的图象如图所示，则( B ) (例3) A. f(x)＝2sin B. f(x)的图象的一个对称中心为 C. f(x)的单调递增区间是，k∈Z D. 把g(x)＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得f(x)的图象 【解析】由题图可知A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝3π，故T＝＝＝3π，解得ω＝，所以f(x)＝2sin .又函数f(x)的图象经过点，所以f＝ 2sin ＝2，即sin ＝1，因为0＜φ＜，所以＜φ＋＜，所以φ＋＝，解得φ＝，所以f(x)＝2sin ，故A不正确．因为f＝2sin ＝ 2sin (－2π)＝0，所以f(x)的图象的一个对称中心为，故B正确．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得3kπ－≤x≤3kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z，故C错误．把g(x)＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到y＝2sin 的图象，故D错误． 变式 已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin2x，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( D ) A. g(x)是奇函数 B. g(x)的最小正周期是 C. g(x)的图象关于直线x＝对称 D. g(x)在上单调递减 【解析】由题得f(x)＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，则g(x)＝2sin ，从而g(x)的最小正周期T＝＝π，故A，B错误．令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当x＝时，k＝－ Z，故C错误．令2k′π＋≤2x－≤2k′π＋(k′∈Z)，解得k′π＋≤x≤k ... ...
