5.7 三角函数的应用 学习 目标 1. 了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 2. 能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P242—P248，完成下列填空． 1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义 振幅 A __它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离__ 周期 T＝ __它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间__ 频率 f＝ __它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数__ 相位 ωx＋φ __x＝0时的相位φ称为初相__ 2. 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下： (1) 审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系． (2) 建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型． (3) 求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论． (4) 还原，把数学结论还原为实际问题的解答． 典例精讲能力初成 探究1 三角函数在物理学中的应用 例1 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器，如图(1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系式为y＝sin ωt.如图(2)是该函数在一个周期内的图象，则ω＝( D ) 图(1) 图(2) (例1) A. 200 B. 400 C. 200π D. 400π 【解析】由图象可得，ω＞0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π. (1) 三角函数常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； (2) 明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 变式 一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝( D ) A. cm B. cm C. cm D. cm 【解析】由题意，函数的最小正周期为T＝，所以＝＝2π，所以线长为l＝(cm). 探究2 三角函数在实际生活中的应用 (课本P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝ A sin (ωx＋φ)＋b. (例2) (1) 求这一天6～14时的最大温差； 【解答】由题图可知，这段时间的最大温差是20℃. (2) 写出这段曲线的函数解析式． 【解答】由题图可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b①的半个周期的图象，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.因为×＝14－6，所以ω＝.将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入①式，可得φ＝.综上，所求解析式为y＝ 10sin ＋20，x∈[6，14]. 解三角函数应用问题的基本步骤 变式 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. (1) 求出该地区该时段的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈[0，24))的表达式； 【解答】由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin ＋6＝－2，即sin ＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜π，得φ＝－，所以y＝8sin ＋6(x∈[0，24)). (2) 29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 【解答】当x＝9时，y＝8sin ＋6＝8sin ＋6＜8sin ＋6＝10，所以届时学校后勤应该开空调． 探究3 利用数据建立拟合函数模型 例3———八月十八潮，壮观天下无．”———苏轼《观 ... ...
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