《垂径定理》教学设计 一、教学目标 1.夯实基础：通过观察、操作、推理等活动，理解垂径定理的内容及其证明过程，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”这一基本性质，能够运用该定理解决简单的几何问题。 2.提升能力：在探究垂径定理的过程中，发展学生的观察能力、猜想能力和逻辑推理能力；通过定理的应用，培养学生分析几何图形、建立数学模型、解决实际问题的能力。 3.渗透思想：在“由形到数，由数到形”的转换中，渗透数形结合思想；在定理的发现与证明中，体会从特殊到一般、从猜想到论证的数学思维方法。 4.积累经验：通过折纸、画图、小组合作等多种方式，积累数学活动经验，培养动手操作、合作交流、严谨求证的学习习惯。 二、教学重点与难点 教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。 教学难点：理解垂径定理的几何本质，并能在实际问题中灵活运用。 三、教学过程 （一）创设情境，设疑激趣 1、图片引入： （投影展示赵州桥的图片）“同学们，这是被誉为‘天下第一桥’的赵州桥，它已经屹立了1400多年。请大家观察，它的桥拱是什么形状？没错，是圆弧形。” “是的，古代的工匠们巧妙地利用了圆的优美性质。今天，我们就来探究隐藏在圆中的一个重要性质，它能帮助我们理解赵州桥的力学与美学秘密。” 2、问题驱动： “如果我们把桥拱看作圆的一部分，桥面看作一条弦，那么桥拱的最高点（弧的中点）到桥面（弦）的垂直距离，我们称之为‘拱高’。”（在黑板上画出简图） “现在，老师有一个问题：如果我们知道了桥面的跨度（弦长）和拱高，能否计算出这个桥拱所在圆的半径呢？” “要解决这个问题，我们需要请出今天的主角———垂径定理。它就是我们破解这个难题的金钥匙。” （二）动手操作，探究新知 第一环节：折纸实验———形成感性认识 1、活动：请同学们拿出圆形纸片。 第一步：在纸片上任意画一条弦AB。 第二步：将纸片对折，使弦AB的两个端点A和B完全重合。展开后，问：“这条折痕是什么？”（直径CD） 第三步：观察这条直径CD与弦AB有什么位置关系？用三角板验证一下。 2、提问： （1）直径CD与弦AB是什么位置关系？（垂直） （2）直径CD把弦AB分成了几段？它们有什么关系？（两段，相等，即AM=BM） （3）除了弦被平分，大家还能发现什么等量关系吗？（引导观察弧，学生可能说出“两边的弧看起来也一样长”） 3、教师小结：通过折纸，我们初步发现：垂直于弦的直径，似乎平分这条弦，还平分了弦所对的两条弧。 第二环节：严谨画图———提出数学猜想 活动：请同学们在练习本上，用圆规和直尺规范地再现刚才的图形：画⊙O，作弦AB；作直径CD⊥AB，垂足为M；用刻度尺测量AM与BM的长度，验证是否相等。 猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （三）推理论证，形成定理 “但是，折纸和测量难免有误差，我们能否用严格的几何推理来证明这个猜想永远成立呢？” 1、明确已知与求证：（教师板书）已知：CD是⊙O的直径，CD⊥AB于M。求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 2、分析思路： “要证明AM=BM，它们分别在△OAM和△OBM中。我们有什么条件？” 引导学生连接OA、OB，则OA=OB（同圆半径相等）。 “在Rt△OAM和Rt△OBM中，我们有了OA=OB，OM=OM，还缺什么？”（缺一个角或一条边） “由CD⊥AB，可得∠OMA=∠OMB=90°。所以根据什么判定定理？”（HL，直角三角形全等） 3、完成证明：（教师规范板书） 连接OA，OB。 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL)。 ∴AM=BM,∠AOC=∠BOC。 ∴弧AC=弧BC。 同理，可证弧AD=弧BD。 4、揭示定理：“至此，我们的猜想经过了严格的证明，成为一个真命题，我们称之为垂径定理。” （四）应用新知，学以致用 第一 ... ...
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