5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 课件（16页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.理解并掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数. {74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式 ????′ = (????????)′= (????????)′= (log????????)′= (sin????)′ = (????)′ = (????????)′= (ln????)′= {74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式 0 ? ?????????????1 ? ????????ln???? ? 1????ln???? ? cos???? ? ?sin???? ? ???????? ? 1???? ? 讨论1：令y=f(x)+g(x)，如何利用定义求该函数的导数？ Δy=????(????+Δ????)+????(????+Δ????)-????(????)+????(????)； Δ????Δ????=????(????+Δ????)+????(????+Δ????)?????(????)+????(????)Δ???? =????(????+Δ????)?????(????)Δ????+????(????+Δ????)?????(????)Δ????， y'=limΔ????→0Δ????Δ????=limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????+????(????+Δ????)?????(????)Δ????=f'(x)+g'(x). 所以有[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x). ? 一般的如果????????与?????????都可导，则 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. ? ????????+????????′=????????′+????????′ ? 类似地，如果????????，?????????都可导，则 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. ? ?????????????????′=????????′?????????′ ? 和 差 知识梳理 讨论2：尝试利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗？ 第一步：Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)； 第二步：Δ????Δ????=????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ???? =????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????+Δ????)+????(????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ???? =????(????+Δ????)?????(????)Δ????·g(x+Δx)+????(????+Δ????)?????(????)Δ????·f(x)； ? 第三步：其中limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????=f'(x)， limΔ????→0 g(x+Δx)=g(x)， limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????=g'(x)， 所以y'=limΔ????→0Δ????Δ????=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)， 所以????(????)????(????)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数. ? 讨论3：对于????(????)????(????)，(g(x)≠0)如何求导？ ? ????(????)????(????)'=limΔ????→0????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ???? =limΔ????→0????(????+Δ????)????(????)?????(????)????(????+Δ????)????(????)????(????+Δ????)Δ???? =limΔ????→0????(????+Δ????)????(????)?????(????)????(????)+????(????)????(????)?????(????)????(????+Δ????)????(????)????(????+Δ????)Δ???? =limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????·????(????)?????(????+Δ????)?????(????)Δ????·????(????)????(????)????(????+Δ????) =????′(????)????(????)?????(????)????′(????)[????(????)]2. ? 知识梳理 事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，有 ? ????????????????′=????′????????????+????(????)????′???? ? 积 ????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????) ? 商 例1 求下列函数的导数. (1)f(x)＝x2＋sin x；(2)g(x)＝x3－32x2－6x＋2. ? 解：(1)f '(x)＝(x2＋sin x)'＝(x2)'＋(sin x)'＝2x＋cos x； (2)g '(x)＝(x3－32x2－6x＋2)'＝3x2－3x－6. ? 解：(1)h '(x)＝(xsin x)'＝x'sin x＋x(sin x)'＝sin x＋xcos x. (2)f '(x)＝(x2ex)'＝(x2)'ex＋x2(ex)'＝2xex＋x2ex. (3)S '(t)＝(????2+1????)'＝(????2+1)′?????(? ... ...