微专题2 对称问题 典例剖析素养初现 拓展1 点关于点对称 例1 点A(2，－1)关于点M(3，4)对称的点B的坐标为(4，9)． 【解析】 设B(x，y)，由解得x＝4，y＝9，故点B的坐标为(4，9). 点A(a，b)关于点M(m，n)对称的点A1的坐标为(2m－a，2n－b). 拓展2 点关于直线对称 例2 点(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是( B ) A. (1，0) B. (0，1) C. (0，－1) D. (2，1) 【解析】 设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0对称的点是B(a，b)，则有解得故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0，1). 如图，求点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点Q(a，b)的步骤： 设PQ的中点为D，利用中点坐标公式得D，将点D的坐标代入直线l：Ax＋By＋C＝0中，结合kPQ·kl＝－1可求得点Q的坐标． 变式2 已知某地A，B两村在同一平面直角坐标系中的坐标分别为(1，2)，(4，0)，一条河所在直线l的方程为x＋2y－10＝0.现要在河边上建一座供水站P分别向A，B两村供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方？ 【解答】 如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P.若点P′(异于点P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站建在P处，才能使得所用管道最省．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解得即A′(3，6)，所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.联立解得所以点P的坐标为.故供水站P应建在点处． (变式2答) 拓展3 直线关于点对称 例3 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线的方程． 【解答】 方法一：在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，则点A关于点P(0，1)对称的点B的坐标为(8，2).设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0.因为直线过点B(8，2)，所以2×8＋11×2＋C＝0，解得C＝－38，从而所求直线的方程为2x＋11y－38＝0. 方法二：设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0(C≠16)，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38，所以所求直线的方程为2x＋11y－38＝0. 方法三：设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点P(0，1)对称的点为(－x，2－y).因为点(－x，2－y)在直线2x＋11y＋16＝0上，所以2(－x)＋11(2－y)＋16＝0，化简得2x＋11y－38＝0，即所求直线的方程为2x＋11y－38＝0. 求解直线关于点对称的问题的方法： 如图，求直线l1关于点P(a，b)对称的直线l2. 方法一：在直线l1上找一点A，求点A关于点P对称的点B.由l1∥l2，知k1＝k2，再由点斜式求直线l2的方程． 方法二：由l1∥l2设出直线l2的方程，由点P到两直线的距离相等求相关参数． 拓展4 直线关于直线对称 例4 (1) 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程． 【解答】 方法一：联立得直线l1与直线l的交点为A.在直线l1上取一点B(2，0)，设点B关于直线l对称的点为C(x，y)，则解得即C(－2，4).又直线l2过A和C(－2，4)两点，故由两点式得直线l2的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 方法二：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l对称的点为N(x，y)，则线段MN的中点的坐标为，直线MN的斜率为.由题意得解得因为M(x0，y0)在直线l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0. (2) 已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋1＝0对称的直线为l2，求直线l2的方程． 【解答】 由题意可设直线l2的方程为2x－y＋c＝0(c≠3)，则有＝，即2＝|c－1|，解得c＝3(舍去)或c＝－1，所以直线l2的方程为2x－y－1＝0. 求解直线关于直线对称的问题的方法： (1) 如图，已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)相交，求l1关于直线l对称的直线l2. 方法一：①求出l1与l的交点P； ②在l1上任意取一点M(不同于点P)，求点M关于直线l的对称点N； ③根据P，N两点求 ... ...
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