微专题3 隐圆问题 典例剖析素养初现 拓展1 阿波罗尼斯圆 例1 已知两个定点A(－2，0)，B(4，0)，若动点P满足＝，求动点P的轨迹． 【解答】 设点P(x，y)，则＝，整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以动点P的轨迹是以(－4，0)为圆心、4为半径的圆． 阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A，B，设点P在同一平面上且满足＝λ(λ≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆． (1) 阿波罗尼斯圆的圆心C在直线AB上，半径为|AB|； (2) 阿波罗尼斯圆的圆心C一定不在点A，B之间，且|CA|·|CB|等于半径的平方． 拓展2 其他形式的隐圆 例2 (1) 已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是[0，3]． 【解析】 设点M(x，y)．由点A(0，2)，O(0，0)及|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．圆C上存在点M满足|MA|2＋|MO|2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以|2－1|≤|CE|≤2＋1，即|2－1|≤≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3]． (2) 若直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为3． 【解析】 因为直线l1，l2分别经过定点A(0，2)，B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上，圆心为C(1，1)，半径r＝．因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3． (3) 若圆x2＋y2＝6上的两个动点A，B满足||＝2，点M在圆x2＋y2＝16上运动，则|＋|的最小值为4． 【解析】 圆x2＋y2＝6的圆心为原点，半径r＝．因为|AB|＝2，所以圆x2＋y2＝6的圆心到直线AB的距离d＝＝2．设线段AB的中点为N，则|ON|＝d＝2，所以点N在以原点为圆心、r1＝2为半径的圆上，从而点N的轨迹方程为x2＋y2＝4．因为N为AB的中点，所以＋＝2，从而|＋|min＝2||min．因为点M在圆x2＋y2＝16上运动，圆x2＋y2＝16的半径r2＝4，所以|＋|min＝2||min＝2×(4－2)＝4． (4) (多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值可能为( BD ) A．－2 B．－1 C．2 D．0 【解析】 设点M(x，y)，则＝(－x－1，－y)，＝(－x＋1，－y)，所以·＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，从而点M的轨迹方程为x2＋y2＝4，它表示一个圆，且圆心坐标为(0，0)，半径为2．由题意可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点，又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心坐标为(2a－1，2a＋2)，半径为1，所以1≤≤3，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是． (5) 已知a，b均为单位向量，且夹角为，若向量c满足(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值为( D ) A． B． C． D． 【解析】 将向量a，b，c的起点平移到原点O，设向量2a，b，c的终点分别为A，B，C，则c－2a＝－＝，c－b＝－＝．由(c－2a)·(c－b)＝0得·＝0，即⊥，则点C在以AB为直径的圆上．因为a，b均为单位向量，且夹角为，所以不妨设a＝(1，0)，b＝，从而A(2，0)，B，于是以AB为直径的圆的圆心M的坐标为，半径为＝．又|OM|＝＝，所以|c|＝|OC|≤|OM|＋＝＋，即|c|的最大值为． 圆的方程是常考内容，但有些时候，条件中不会直接给出圆的相关信息，而是将信息隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现隐圆(或圆的方程)是关键，常见的模型如下： 模型一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆； 模型二：利用动点P对两定点A，B的张角是90°(即直线PA，PB的斜率存在时，kPA·kPB＝－1或直 ... ...
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