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课件网) 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 前面我们学习了直线的方程和圆的两种类型的方程。 我们知道利用直线的方程可以研究两条直线的位置关系. 本节我们将类比用直线方程研究两条直线位置关系的方法， 进一步学习如何利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.5.1 直线与圆的位置关系 1.理解并掌握直线与圆的位置关系的两种判断方法；（重点） 2.会求过一个定点的圆的切线方程；（重点） 3.当直线与圆相交时，会求直线被圆截得的弦长；（重点） 4.掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用．（难点） 复习回顾：初中学过的平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 相交 相切 相离 （1） （3） （2） 课堂探究 怎样判断直线与圆的位置关系？ 你能利用直线和圆的方程来判断直线和圆的位置关系吗？ 先来看一个具体的例子. (有两个公共点） (有一个公共点） (没有公共点） 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解1:(代数法) 判断直线与圆位置关系的方法： (1) 代数法： ① △＞0 消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程. 利用一元二次方程的判别式△确定解的情况, 判断直线与圆位置关系： 直线l与圆C相交； 方程有两不等实根 ② △＝0 直线l与圆C相切； 方程有两个相等实根 ③ △＜0 直线l与圆C相离. 方程无实数根 在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过方程组 若相交, 可以由方程组(1)解得两交点坐标利用两点间的距离公式求得弦长. 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解2:(几何法) x O y 6 2 1 B A d l C ③ d＞r 已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有 ① d＜r 直线l与圆C相交； ② d＝r 直线l与圆C相切； 直线l与圆C相离. 判断直线与圆位置关系的方法： (2) 几何法： 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长. x y O A B d C 若直线l与圆C相交, 则弦长公式为 r 直线与圆相交时弦长的两种求法： (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 其中k为直线l的斜率, a是方程组消元后的二次方程的二次项系数, 是判别式. x O y l C d A B r 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 解1:(几何法) -1 x O y 1 1 2 P(2,1) r 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 解2:(代数法) -1 x O y 1 1 2 P(2,1) r 变式： 过点P(1, 2)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. -1 x O y 1 1 2 P(1,2) r 解：当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x=1,易知圆心到此直线的距离等于半径，所以直线x=1为圆的一条切线 当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y-2=k(x-1) 即kx-y-k+2=0 综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+5=0 巩固训练1： 1. 过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的 切线方程为_____. x=3或4x-3y-15=0 2. 过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的 切线方程为_____. 3x－y＝0 x O y P(3,-1) C(4,2) x O y C(4,2) P(3,-1) (1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线 ... ...
