专题14求锐角三角函数值的常用方法 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题14求锐角三角函数值的常用方法 类型1定义法 典例1 (湖北孝感中考)如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则 sin A= ( ) 直接根据定义求三角函数值，先求出相应的长度，再代入三角函数公式即可求解. 【答案】 变式训练 1 新趋势 多模块综合如图，在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0，3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为 . 2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5,求∠A的三个三角函数值. 类型2 巧设参数法 典例2 (浙江杭州拱墅模拟)在Rt△ABC中， 则sinB的值为 ( ) B. D.2 学霸说 若已知两边的比值或一个角的锐角三角函数值，而不能直接求边长，则可采用设参数的方法.先根据比值或勾股定理用参数表示出所需边长，再根据锐角三角函数的相关定义求出锐角三角函数值.如本题中，可设BC=x,则AC= ,根据勾股定理,得AB= ,从而求出 sin B的值. 【答案】 变式训练 3 新趋势 多模块综合(浙江杭州中考)如图，已知AB是⊙O的直径,BC与⊙O 相切于点B，连接AC,OC.若 则tan∠BOC= . 4 如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,若SS△ACD:S△BCD=3:2,求cos∠ACB的值. 类型3构造直角三角形法 典例3 如图,锐角△ABC中,AB=10cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27cm ,求tanB的值. 学霸说 若要求的锐角三角函数值的角不在直角三角形中，则需要根据已知条件构造直角三角形解决.本题可作AD⊥BC，垂足为点D,将tanB放到Rt△ 中求解即可. 【规范解答】 变式训练 5(江苏淮安淮阴模拟)如图，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ( ) B. D. 6 如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使 连接AC，若 求tan∠CAD的值. 类型4等角转换法 典例4 新趋势 多模块综合如图，已知AB是⊙O的直径，点C和点D分别位于AB的两侧.若BC=2AC,则cos∠BDC= ( ) B.2 若要求的角的锐角三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值.本题中，根据圆周角定理的推论，可将cos∠BDC转化为cos∠ 来求解. 【答案】 变式训练 7 (北京海淀模拟)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC,垂足为点D,若AD:CD=4:3,则 tan B= . 8(江苏常州钟楼模拟)如图，在边长为1的正方形网格中，点B，C，D在格点上，连接BD并延长,交网格线于点A,则sin∠ADC= . 9 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC= 则tan∠BPC= . 专题14 求锐角三角函数值的常用方法 典例1 【答案】A 解析:在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,∴BC= 故选A. 变式训练 解析:∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0, ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,∴AC=AB=5, 解题关键点：根据几何作图与勾股定理求出BC的长度是关键. 2.解:在Rt△BCD中,∵CD=3,BD=5, 在Rt△ABC中,∵AC=AD+CD=8, 典例2 【答案】A 解析:∵ ∴设BC=x,AC=2x,∴在Rt△ABC中, 故选A. 变式训练 解析:∵AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°. .设BC=x,则AC=3x, 4.解:如图,作AE⊥BC,垂足为E,DN⊥AC,垂足为N,DM⊥BC,垂足为M. ∵CD平分∠ACB,∴DM=DN. 设AC=3k,则BC=2k. ∵AB=AC,AE⊥BC,∴BE=CE= BC=k. 典例3 ABD 【规范解答】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图. 解得AD=6. 变式训练 5. D 解析:如图,过点A作AC⊥BO,与OB延长线交于点C，易知C在格点上. 故选D. 解题关键点：过点A向OB的延长线作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解是关键. 6.解:如图,延长AD,作CE⊥AD,垂足为E. 即 ∴设AD=5x,则AB=3x. ∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD, ∴△CDE∽△BDA, 典例4 BAC 【答案】D 解析:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵BC=2AC,∴可设AC=a,则. ∵∠BDC=∠BAC, 故选D. 变式训练 7. 解析:Rt△ABC中,∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠C=90°. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°, ∴∠CAD+∠C=90 ... ...