4.4探索三角形相似的条件 【题型1】两角分别相等两三角形相似 2 【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 4 【题型3】三边成比例两三角形相似 6 【题型4】黄金分割 9 【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋 苍梧县期末）如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个 【答案】B 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【解答】解：①∵∠BDO=90°，∠BEA=90° ∴∠BDO=∠BEA ∴△BOD∽△BAE ②∵∠BDO=90°，∠CDA=90° ∴∠BDO=∠CDA ∴△BOD∽△CAD ③∵∠BDO=90°，∠CEO=90 ∴∠BDO=∠CEO ∴△BOD∽△COE ∴有3个 故选：B． 【题型1】两角分别相等两三角形相似 【典型例题】下列各组图形中可能不相似的是( ) A.有一个角是45°的两个等腰三角形 B.有一个角是60°的两个等腰三角形 C.有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 【答案】A 【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选A. 【举一反三1】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( ) A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC C.△BAC∽△BDA D.△BDF∽△BAE 【答案】A 【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△BFA∽△BEC.故B正确．∴∠BFA＝∠BEC，∴∠BFD＝∠BEA，∴△BDF∽△BAE.故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A. 【举一反三2】如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：_____. 【答案】∠B＝∠C(答案不唯一) 【解析】要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：∠B＝∠C，理由如下：∵∠A＝∠A，∠B＝∠C，∴△ABE∽△ACD， 【举一反三3】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.求证：△ABM∽△EFA. 【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA. 【举一反三4】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE. 【答案】证明：如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE. 【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 【典型例题】如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( ) A.AC：CD＝AB：BC B.CD：AD＝BC：AC C.AC2＝AD·AB ... ...
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