1.5三角函数的应用 【题型1】三角函数的实际应用 4 【题型2】方位角问题 8 【题型3】仰角、俯角问题 10 【题型4】坡度、坡角问题 12 【知识点1】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2025 河北模拟）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm,上部显示屏EF的长度为45cm,侧面支架EC的长度为150cm,∠ECD=80°，∠FEC=130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为（ ）cm.（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） A．189.5B．147C．167D．158 【答案】A 【分析】过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FN，垂足为M，分别解Rt△EHC，Rt△EMF，求出EH，FM的长，进而求出最高点F距地面AB的高度即可． 【解答】解：侧面支架EC的长度为150cm,∠ECD=80°，∠FEC=130°，如图，过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FN，垂足为M，则四边形EMNH为矩形，MN=EH，EM=HN， 在Rt△EHC中，， ∴EH≈147cm, ∵∠EHC=90°， ∴∠CEH=10°， ∴∠FEM=∠FEC-∠MEH-∠CEH=130°-90°-10°=30°， ∴， ∴点F到CD的高度为MN+FM=EH+FM≈169.5（cm）， ∵矩形底座ABCD的高BC为20cm, ∴点F到底面的高度约为169.5+20=189.5cm. 故选：A． 【知识点2】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2025 灞桥区校级一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°13′，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ） A．115°23′B．115°13′C．105°13′D．125°13′ 【答案】B 【分析】根据平行的性质得到∠3=90°，根据三角形内角和定理求出∠2=64°47′，根据平行的性质即可得到答案． 【解答】解：∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3=90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1=90°， ∵∠α=25°13′， ∴∠2=∠1=90°-∠α=90°-25°13′=64°47′， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2=180°， ∴∠β=115°13′， 故选：B． 【题型1】三角函数的实际应用 【典型例题】如图，游乐场有一个长120 cm的跷跷板AB，AB的支撑柱OH垂直地面于点H，O为AB的中点，当AB一端A着地时，∠BAH＝25°，则支撑柱OH的长可表示为（ ） A. cm B. cm C.60sin25°cm D.60tan25°cm 【答案】C 【解析】∵O为AB的中点，AB＝120 cm， ∴OA＝AB＝60（cm）， 在Rt△AOH中，∠BAH＝25°， ∴OH＝OA sin25°＝60 sin25°（cm）， 故选：C． 【举一反三1】如图，厂房屋顶人字架 ... ...
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