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课件网) 4.5 增长速度的比较 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用； 2.理解直线增长、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较； 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题. 知识点一 函数的平均变化率 1.定义：函数在区间（时）或（ 时）上的 平均变化率为 . 2.实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. 3.理解：自变量每增加1个单位,函数值平均将增加 个单位.因此，可用平均变化 率来比较函数值变化的快慢. 知识点二 三种函数增长速度的比较 1.在区间上,函数，和 都 是____函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上. 2.随着的增大, 的增长速度_____,会超过并远远大于 的增长速度,而 的增长速度则会_____. 增 越来越快 越来越慢 3.存在一个，当时，有 . 探究点一 平均变化率的比较 例1（1） 如图为物体甲、乙在时间0到范围内路程 的变 化情况，则下列说法正确的是____.（填序号） ③ ①在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. [解析] 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误. 在到 范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为. 因为， ，所以 ，故③正确，④错误. （2）已知函数，，， ，分别计算这 四个函数在区间 上的平均变化率，并比较它们的大小. 解：,,, ,故在区间 上的平均变化率的大小关系为 . 变式 （多选题）已知，函数 ，则下列结论中正确的有 ( ) BD A.函数在区间 上的平均变化率总是大于1 B.函数在区间 上的平均变化率总是小于1 C.函数在区间上的平均变化率随着 的增大而增大 D.函数在区间上的平均变化率随着 的增大而减小 [解析] ，因为 ， 所以，故A错误，B正确； 当时， 随着的增大而减小，随着的减小而减小， 所以随着 的增大而减小，故C错误，D正确.故选 . ［素养小结］ 平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用： （1）计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值 增加的快慢. （2）平均变化率的大小也代表了区间的端点对应的曲线上两点连线斜率的大小， 通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响. （3）计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数函数、对数函数 的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小. 探究点二 不同函数增长速度的比较 例2（1） [2024·宁夏石嘴山高一期末]根据下表实验数据，下列所给函数模型 比较适合的是( ) 1 2 3 4 14 20 29 43 C A. B. C. D. [解析] 由表可知随着的增大， 的增长速度越来越快，故选C. （2）（多选题）已知函数，， ，则下列关于这三个函数 的描述中正确的是( ) BD A.在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B.在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C.当时，的增长速度一直快于 D.当时，的增长速度有时快于 [解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数 ，， 的图象，如图所示. 对于A，B，在上，随着的逐渐增大， 的 增长速度越来越快于 ，故A错误，B正确; 对于C，当时，的增长速度不是一直 快于 ，故C错误; 对于D，当时， 的增长速度有时快于 ，故D正确.故选 . 变式 （多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运 动，其路程关于时间 的函数关系式分别为 ，，， ，则下列结论中 正确的是( ) CD A.当 时，甲走在最前面 B.当 时，乙走在最前面 C.当时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面 D.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 [解 ... ...
