双曲线 1.双曲线的定义 双曲线的定义：平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为一个常数2a（2a＜｜F1F2｜）M点的轨迹为双曲线. F1，F2为双曲线的焦点,｜F1F2｜为双曲线的焦距. 若2a＝｜F1F2｜，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线； 若2a＞｜F1F2｜，则轨迹不存在； 若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a，或x≤－a y≤－a，或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 知识点三 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 知识点四 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，, 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 【常用结论】 (1)双曲线方程的常见设法 ①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ. ②若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ. ③与双曲线－＝1共焦点的方程可设为 (2)双曲线中的常用结论 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. ②若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a. ③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. ④若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. ⑤点P在双曲线－＝1，上，双曲线以点P为切点的切线方程为. 即对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 题型一 双曲线的定义及方程 例题1 双曲线与椭圆有相同的焦距,一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程为 A． B．或 C．或 D． 【答案】． 【解答】解：椭圆中，，焦距， 双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为， 设双曲线方程为，化为标准方程，得：， 当时，，解得，双曲线方程为； 当时，，解得，双曲线方程为． 双曲线方程为或． 例题2 已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点为双曲线右支上一点，则， 因为，且，所以，， 由题，因为，则，所以为最小角，故， 所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以， 所以双曲线的标准方程为. 【举一反三】 1. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ． 【答案】 【解析】双曲线经过点，且与具有相同渐近线， 设双曲线的方程为，，把点代入，得：，解得， 双曲线的方程为：．故答案为：． 2. 求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程。 【答案】 或 【解析】若焦点在轴上,设椭圆方程为,将点代入,得,故所求方程为 若焦点在轴上，设方程为代入点，得，． 3.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为_____． 【答案】 【解析】由双曲线可得焦点坐标为， 设所求双曲线的方程为，， 由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：. 4. －＝4表示的曲线方程为 【答案】－＝1(y≤－2) 【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， ,所以 由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大,所以 即曲线方程为 5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直 ... ...
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