第七讲 椭圆及简单几何性质 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、、 、、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 切点弦所在的直线方程 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 常用结论 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． （3）焦点三角形相关结论 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 题型一 椭圆定义和方程 例题1 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 A． B． C． D． 例题2 (2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( ) A. ＋＝1(y＞0) B. ＋＝1(y＞0) C. ＋＝1(y＞0) D. ＋＝1(y＞0) 例题3 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( B ) A. ＋y2＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 例题4 已知两定点,，直线，在上满足的点有 个． A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 【举一反三】 1. 已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 2. 椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 3. 已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 4. 方程表示椭圆的必要不充分条件是 A． B． C．，， D． 5. 求与椭圆有相同的离心率且经过点的椭圆方程． 6. 点在焦点为和的椭圆上，若△面积的最大值为16，则椭圆标准方程为 A． B． C． D． 7. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 题型二 椭圆的性质 例题1 已知椭圆与，则两个椭圆（ ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 例题2 点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 ． 例题3 点，为椭圆的两个焦点．点为椭圆内部的动点．则△周长的取值范围为 A． B．， C． D．， 例题4 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为 A．4 B．5 C．7 D．8 【举一反三】 1. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等 2. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是 A． B． C． D． 3. (2024·潍坊二模)(多选)已知椭圆C：＋＝1的焦点分 ... ...
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