直线与圆,圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式Δ. 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr 知识点二 圆于圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 相离 外切 相交 内切 内含 图形 几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 【常用结论】 (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. (2)求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝ 或 . (3)两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②， 若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程可由①－②得到，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (4)圆系方程 ①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数. ②过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). ③过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解). 题型一 直线与圆的位置关系 例题1 已知直线方程，圆的方程为，当为何值时，圆与直线有： (1) 有两个公共点；(2) 只有一个公共点；(3) 没有公共点？ 例题2 (x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心 例题3 (多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( ) A. 若点A在圆C上，则l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则l与圆C相切 【举一反三】 1. (2025·台州一模)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，其中D＜0，若圆C上仅有一个点到直线x＋y－2＝0的距离为1，则＝_ _；圆C的半径取值可能为_ _(请写出一个可能的半径取值)． 2. 直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3. 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( ) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 4. 对于任意实数，圆与直线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与的取值有关 题型二 圆与圆的位置关系 例题1 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 . 例题2 (一题多解、开放题)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 . 例题3 圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围 . 【举一反三】 1. (2025· ... ...
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